[論文レビュー] Ehrhart series and lattice triangulations

Sam Payne|ArXiv.org|Feb 2, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単体的分割における非ユニモジュラーな面からの局所的寄与と多変数h多項式を用いて、有理的多面体的錐のEhrhart系列の公式を構築する。2つの定理を導入し、格子点の母関数をこれらの成分で表現する。その応用として、反射的多面体の非ユニモーダルなh*-ベクトルの計算が可能となり、次元6, 7, 8, 10, 11における新しい例が得られる。

ABSTRACT

We express the generating function for lattice points in a rational polyhedral cone with a simplicial subdivision in terms of multivariate analogues of the h-polynomials of the subdivision and "local contributions" of the links of its nonunimodular faces. We also compute new examples of nonunimodal h^*-vectors of reflexive polytopes.

研究の動機と目的

• 有理的多面体的錐に単体的分割を施した場合の格子点の母関数に対する一般公式を導出すること。
• ボックス多項式とリンクh多項式を用いて、非ユニモジュラーな面からの局所的寄与を組み込んだ、Ehrhart理論の拡張を行うこと。
• ユニモーダル性の予想に反する、非ユニモーダルなh*-ベクトルを有する反射的多面体の明示的例を構成すること。
• 以前の特殊単体に関する結果を、より広いクラスの特殊錐に一般化すること。
• 新公式の実用性を、反射的多面体族のEhrhart系列とh*-多項式の計算に示すこと。

提案手法

• 単体的分割$ \triangle $の各面における放射線の内と外の積を用いて、多変数版のh多項式$ H_{\triangle} $を定義する。
• 格子点の開平行多面体$ \mathrm{Box}(\tau) = \{ \sum a_i v_i \mid 0 < a_i < 1 \} $の生成関数としてボックス多項式$ B_{\tau} $を定義し、非ユニモジュラーな錐における分数部分を捉える。
• 錐$ \triangle $における面$ \tau $のリンク$ \mathrm{lk} \tau $を定義し、対応する多変数h多項式$ H_{\mathrm{lk} \tau} $を構成する。
• 定理1.1を確立：格子点の母関数$ G_{\sigma} $は、$ (1 - x^{v_1}) \cdots (1 - x^{v_s}) \cdot G_{\sigma} = H_{\triangle} + \sum_{\tau \in \triangle^{\mathrm{sing}}} \left( B_{\tau} \cdot H_{\mathrm{lk} \tau} \cdot \prod_{v_i \not\in \mathrm{Star} \tau} (1 - x^{v_i}) \right) $を満たす。
• 特殊錐$ \lambda $をすべての最大錐に含まれる形で導入し、相対ボックス多項式$ B_{\tau, \lambda} $を定義し、定理1.2を一般化する。$ H_{\mathrm{lk} \lambda} $と$ \tau \succeq \lambda $の寄与を含む公式を導出する。
• 公式を格子多面体に適用するため、Ehrhart系列に特化し、Braunの公式を用いて自由和を構成し、大きな非ユニモーダルなh*-ベクトルを持つ例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的錐に単体的分割を施した場合、Ehrhart系列は多変数h多項式と非ユニモジュラーな面からの局所的寄与で表現可能か？
• RQ2 すべての最大錐に含まれる特殊錐$ \lambda $が、格子点の母関数の公式を精緻化する役割を果たすか？
• RQ3 すべての次元$ d \geq 6 $において、非ユニモーダルなh*-ベクトルを有する反射的多面体が存在するか（$ d = 7, 8, 11 $を除く）？
• RQ4 反射的多面体のh*-ベクトルがマカウレイベクトルでないことはあり得るか？その条件は何か？
• RQ5 反射的多面体の自由和を用いて、連続するh*-ベクトル成分の差が任意に大きくできる例をどのように構成できるか？

主な発見

• 定理1.1は、有理的錐$ \sigma $における格子点の母関数$ G_{\sigma} $の完全な分解を与える。多変数h多項式$ H_{\triangle} $と、$ B_{\tau} $および$ H_{\mathrm{lk} \tau} $による非ユニモジュラーな面からの寄与を用いる。
• 定理1.2は、特殊錐$ \lambda $を組み込んだ定理1.1の一般化であり、$ H_{\mathrm{lk} \lambda} $と相対ボックス多項式$ B_{\tau, \lambda} $を含む公式を導出する。$ \lambda = 0 $のとき、定理1.1が回復される。
• 例4.3は次元6の反射的単体を構成し、$ h^*(P) = (1,2,6,5,5,6,2,1) $を示す。これは非ユニモーダルであり、次元6における非ユニモダリティを確認する。
• 例4.4は次元11の反射的単体を構成し、$ h^*(P) = (1,1,4,6,4,6,6,4,6,4,1,1) $を示す。これも非ユニモーダルであり、$ d = 11 $のケースを解決する。
• 例4.2において$ b \geq 3 $かつ$ k > r+1 $のとき、h*-ベクトルは非ユニモーダルであり、次元$ d \geq 6 $のすべての次元（$ d = 7,8,11 $を除く）にそのような例が存在する。これらの次元は明示的構成によりカバーされる。
• 定理1.6は、連続するh*-ベクトル成分の差が任意に大きくできる反射的多面体を構成する。任意の$ n $に対して、$ h^*_{i_\ell} - h^*_{j_\ell} \geq n $を満たす$ \ell $が複数存在する反射的多面体$ P $が存在し、次元は$ \dim P = O(m \log \log n) $となる。