[論文レビュー] Eichler-Shimura isomorphism for complex hyperbolic lattices

Инканг Ким, Genkai Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$SU(n,1)$ 内の複素双曲的格子に対して、Eichler-Shimura 同型の初等的証明を提供する。ここで、$S^m(\mathbb{C}^{n+1})$ に値をとる調和 1-形式が、商多様体 $\Gamma\backslash B$ 上の $(0,1)$-形式であることが示される。主な結果として、$H^1(\Gamma, \rho_m)$ がドレーブォー・コhomology $H^{1,0}(\Gamma\backslash B, S^m TX \otimes \mathcal{L}^{-m})$ に同型であることが特定され、古典的結果が高ランクのヘルミート対称空間へ拡張される。

ABSTRACT

We consider the cohomology group $H^1(Γ, ρ)$ of a discrete subgroup $Γ\subset G=SU(n, 1)$ and the symmetric tensor representation $ρ$ on $S^m(\mathbb C^{n+1})$. We give an elementary proof of the Eichler-Shimura isomorphism that harmonic forms $H^1(Γ\backslash G/K, ρ)$ are $(0, 1)$-forms for the automorphic holomorphic bundle induced by the representation $S^m(\mathbb C^{n})$ of $K$.

研究の動機と目的

• 複素双曲的格子 $SU(n,1)$ の文脈において、Eichler-Shimura 同型の初等的かつ直接的な証明を提供すること。
• 調和コhomology類 $H^1(\Gamma, \rho_m)$ が、$\rho_m = S^m(\mathbb{C}^{n+1})$ であるとき、$S^m TX \otimes \mathcal{L}^{-m}$ に値をとる $(0,1)$-形式に正確に対応することを確立すること。
• $n > 1$ の場合、特に、Koszul複体やホッジ消失定理に依存する既存の証明とは異なり、古典的 Eichler-Shimura対応を高ランクのヘルミート対称空間へ拡張すること。

提案手法

• Lie代数のカルタン分解 $\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$ の使用と、対称空間 $B = G/K$ を $\mathbb{C}^n$ 内の単位球面と同一視すること。
• $\mathfrak{p} \cong \mathbb{C}^n$ が表現空間 $S^m(\mathbb{C}^{n+1})$ 上に作用する様子を明示的に分析し、Lie代数作用 $\rho^+(\xi_v)$ を用いること。
• 中心的元 $H_0 \in \mathfrak{k}$ を用いて表現空間上のフィルトレーションを定義し、重み空間への分解を可能にすること。
• $\bar{\partial}$-閉性条件と $\partial$-方程式の適用により、調和形式が型 $(0,1)$ でなければならないことを示すこと。
• 線分束 $\mathcal{L}^{-1}$ を $\mathcal{L}^{-(n+1)} = \mathcal{K}_X$（canonical bundle）を満たすように特定し、これを用いて正則バンドル $S^m TX$ をねじること。
• セール双対性と、コンパクトなリーマン面上の線分束のコホモロジーに関する既知の結果を活用し、コホモロジー群と正則切断の空間との関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Koszul複体やホッジ消失定理に依存せずに、$n > 1$ の複素双曲的格子 $SU(n,1)$ に対して Eichler-Shimura 同型を初等的に証明する方法は何か？
• RQ2 調和 1-形式 $S^m(\mathbb{C}^{n+1})$ に値をとる $\Gamma\backslash B$ 上の幾何学的・コホモロジー的解釈は、どのように特定できるか？
• RQ3 $n=1$ の場合（リーマン面）における古典的 Eichler-Shimura対応を、一様な表現論的アプローチにより高ランクのヘルミート対称空間へ一般化できるか？

主な発見

• 調和 1-形式 $H^1(\Gamma, \rho_m)$ は、線分束 $S^m TX \otimes \mathcal{L}^{-m}$ に値をとる $(0,1)$-形式であることが示され、ここで $\mathcal{L}^{-1}$ は標準的線分束の双対である。
• 双対表現 $\rho_m'$ の場合、調和 1-形式はすべての $m+1$ 変数に関して対称な $(1,0)$-形式であり、自然に $S^{m+1} T^*X \otimes \mathcal{L}^m$ の切断に対応し、双対性が成立する。
• $H^1(\Gamma, \rho_m)$ はドレーブォー・コホモロジー $H^{1,0}(\Gamma\backslash B, S^m TX \otimes \mathcal{L}^{-m})$ に同型であり、$H^1(\Gamma, \rho_m')$ は $H^{0,0}(\Gamma\backslash B, S^{m+1} T^*X \otimes \mathcal{L}^m)$ に同型である。これは、この文脈における Eichler-Shimura 同型の確認である。
• 本手法は $n=1$ の場合（リーマン面）にも適用可能であり、$H^1(\Gamma, \rho_{2j})$ が $H^0(\Sigma, \mathcal{K}^{j+1}) \oplus H^0(\Sigma, \mathcal{K}^{j+1})^*$ に同型である古典的 Eichler-Shimura対応の初等的証明を提供する。
• Fuchsian 点における $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$-表現のヒッチン成分の接空間は、$\sum_{j=2}^{m+1} H^0(\Sigma, K_\Sigma^j)$ として特定され、正則および反正則部分に分解される。
• $m$-次の対称冪表現に対する $H^1(\Gamma, \mathfrak{sl}(m+1,\mathbb{R}))$ は、$\sum_{j=1}^m H^0(\Sigma, \mathcal{K}^{j+1}) \oplus H^0(\Sigma, \mathcal{K}^{j+1})^*$ の実形式として実現され、低ランク表現からの追加寄与も含まれる。