[論文レビュー] Eigenfunctions of the Multidimensional Linear Noise Fokker-Planck Operator via Ladder Operators

Todd K. Leen, Robert Friel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2016

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、線形のドリフトと定常拡散を伴う多次元Fokker-Planck作用素に対して、上昇作用素と下降作用素を構築し、固有関数と固有値の明示的構成を可能にする。主な貢献は、特別な座標系においてこれらの固有関数がヘルミート関数の積の和に簡略化され、時間に依存するおよび非同次的なFokker-Planck方程式を解くために用いられる双直交基底を形成することを示したことである。

ABSTRACT

The eigenfunctions and eigenvalues of the Fokker-Planck operator with linear drift and constant diffusion are required for expanding time-dependent solutions and for evaluating our recent perturbation expansion for probability densities governed by a nonlinear master equation. Although well-known in one dimension, for multiple dimensions the eigenfunctions are not explicitly given in the literature. We develop raising and lowering operators for the Fokker-Planck (FP) operator and its adjoint, and use them to obtain expressions for the corresponding eigenvalues and eigenfunctions. We show that the eigenfunctions for the forward and adjoint FP operators form a bi-orthogonal set, and that the eigenfunctions reduce to sums of products of Hermite functions in a particular coordinate system.

研究の動機と目的

• 多次元における前向きおよび随伴Fokker-Planck作用素の固有関数と固有値の明示的かつ体系的な構成を提供すること。
• ドリフト行列と拡散行列が同時に対角化可能でない場合に、多次元ケースにおける固有関数の明示的表現が不足しているという問題に取り組むこと。
• 前向き作用素と随伴作用素の固有関数からなる双直交基底を確立し、時間に依存する解および非線形マスタ方程式の摂動解の展開を可能にすること。
• 定常状態の共分散が分散1/2の球対称となる座標系において、固有関数がヘルミート関数の積の和に簡略化されることを示すこと。

提案手法

• ドリフト行列 $ A $ の右固有ベクトル $ e_I $ を用いて上昇作用素 $ V_I = -e_I abla $ を導入し、定常状態 $ f_0 $ から前向きFokker-Planck作用素 $ L $ の固有関数を生成する。
• ドリフト行列 $ A $ の左固有ベクトル $ w_I $ を用いて随伴上昇作用素 $ ar{V}_I $ を定義し、定数関数 $ g_0 = 1 $ から随伴作用素 $ L^lat $ の固有関数を生成する。
• 交換関係 $[L, V_I] = \bar{\nu}_I V_I$ および $[L^\flat, \bar{V}_I] = \nu_I \bar{V}_I $ を導出し、$ V_I $ と $ \bar{V}_I $ がそれぞれ $ L $ および $ L^\flat $ の上昇作用素であることを確認する。
• 固有関数を $ f_{n_1,\nu_2,\nu_3,\nu_4} = \big(\bigotimes_I (V_I)^{n_I}\big) f_0 $ と構成し、対応する固有値 $ \nu = \nu_I n_I $ を得る。同様に $ g_K $ を構成し、完全な双直交集合を形成する。
• 定常状態の共分散行列 $ \tilde{\nu} $ が単位行列に比例する座標系に変換し、この座標系において固有関数が $ f_0 $ にヘルミート関数の積をかけた形に簡略化されることを示す。
• 双直交性および正規化関係 $ \braket{g_K | f_K} = \nu_K $ を用いて、固有関数展開により非同次Fokker-Planck方程式を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト行列と拡散行列が同時に対角化可能でない場合に、線形ドリフトと定常拡散を伴う多次元Fokker-Planck作用素の固有関数と固有値を体系的にどのように構成できるか。
• RQ2 多次元における前向きおよび随伴Fokker-Planck作用素の固有関数の構造は何か。それらはどのようにヘルミート関数に関係するか。
• RQ3 前向きおよび随伴Fokker-Planck作用素の両方に対して上昇作用素と下降作用素を定義し、完全な双直交固有関数基底を生成できるか。
• RQ4 どのような座標変換を行うと、Fokker-Planck作用素の固有関数が1次元ヘルミート関数の積に簡略化されるか。
• RQ5 固有関数基底を用いて、時間に依存するおよび非同次的なFokker-Planck方程式をどのように解けるか。

主な発見

• 前向きFokker-Planck作用素 $ L $ の固有関数は、$ V_I $ をドリフト行列 $ A $ の右固有ベクトルから導出した上昇作用素として、$ f_{n_1,\nu_2,\nu_3,\nu_4} = \big(\bigotimes_I (V_I)^{n_I}\big) f_0 $ と構成され、固有値は $ \nu = \nu_I n_I $ である。
• 随伴作用素 $ L^\flat $ の固有関数は、左固有ベクトルを用いた $ g_{n_1,\nu_2,\nu_3,\nu_4} = \big(\bigotimes_I (\bar{V}_I)^{n_I}\big) g_0 $ として生成され、固有値は $ \nu = \nu_I n_I $ である。
• 固有関数 $ f_K $ と $ g_K $ は、$ \braket{g_K | f_K} = \nu_K $ を満たす双直交集合であり、$ \braket{g_0 | f_0} = 1 $ となるように正規化されている。
• 定常状態の共分散行列 $ \tilde{\nu} $ が単位行列に比例する（すなわち $ \tilde{\nu} = \frac{1}{2} I $）座標系において、固有関数は $ f_0 $ にヘルミート関数の積をかけた形に簡略化され、1次元ヘルミート関数基底の一般化となる。
• Fokker-Planck作用素 $ L $ は $ L = \frac{1}{2} \nu_I V_I \bar{V}_I^\flat $ と表現でき、$ L^\flat = \frac{1}{2} \nu_I^* \bar{V}_I V_I^\flat $ となる。これは非ヒルベルト的演算子を伴う量子調和振動子のハミルトニアンに類似している。
• 非同次Fokker-Planck方程式 $ L P^{(i)} = q^{(i)} $ の解は、$ P^{(i)}(x) = \frac{1}{\nu_K \braket{g_K | f_K}} \braket{g_K | q^{(i)}} f_K(x) $ と表され、$ K \neq 0 $ について和をとることで得られ、非線形マスタ方程式の摂動的解法が可能になる。