[論文レビュー] Eigenoscillations of the differentially rotating Sun: II. Generalization of Laplace's tidal equation

N. S. Dzhalilov, J. Staude|ArXiv.org|Jan 11, 2002

Solar and Space Plasma Dynamics参考文献 26被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、任意の径方向および緯度方向の回転勾配を含む、微分回転する非磁気的星における線形的・断熱的非径方向振動を支配する一般化された偏微分方程式（PDE）を導出する。これはラプラスの潮汐方程式を一般化し、回転勾配の影響を含めたものである。主な結果として、回転勾配によって駆動される動的せん断不安定性—緯度方向のケルビン＝ヘルムホルツ不安定性（LKHI）—の同定がなされ、m=1 モードは太陽のエンベロープおよびタコクリーン全域でグローバル不安定性を示し、22年周期のモードスペクトルでは遅いモードが赤道付近に集中し、速いモードが極付近に集中する。

ABSTRACT

The general PDE governing linear, adiabatic, nonraradial oscillations in a spherical, differentially and slowly rotating non-magnetic star is derived. This equation describes mainly low-frequency and high-degree g-modes, convective g-modes, and rotational Rossby-like vorticity modes and their mutual interaction for arbitrarily given radial and latitudinal gradients of the rotation rate. In "traditional approximation" the angular parts of the eigenfunctions are described by Laplace's tidal equation generalized here to take into account differential rotation. From a qualitative analysis of Laplace's tidal equation the sufficient condition for the formation of the dynamic shear latitudinal Kelvin-Helmholtz instability (LKHI) is obtained. The exact solutions of Laplace's equation for low frequencies and rigid rotation are obtained. There exists only a retrograde wave spectrum in this ideal case. The modes are subdivided into two branches: fast and slow modes. The long fast waves carry energy opposite to the rotation direction, while the shorter slow-mode group velocity is in the azimuthal plane along the direction of rotation. The eigenfuncions are expressed by Jacobi's polynomials which are polynomials of higher order than the Legendre's for spherical harmonics. The solar 22-year mode spectrum is calculated. It is shown that the slow 22-year modes are concentrated around the equator, while the fast modes are around the poles. The band of latitude where the mode energy is concentrated is narrow, and the spatial place of these band depends on the wave numbers (l, m).

研究の動機と目的

• 微分回転する非磁気的星における線形的・断熱的非径方向振動を支配する一般化されたPDEを導出すること。
• ラプラスの潮汐方程式を、回転速度の任意の径方向および緯度方向勾配を考慮する形に一般化すること。
• 星の振動理論における「伝統的近似」の適用可能性とその意味を検討すること。
• 太陽の微分回転の文脈において、動的せん断不安定性—特に緯度方向のケルビン＝ヘルムホルツ不安定性（LKHI）—の形成を分析すること。
• モデルを実際の太陽ヘルモセイスミー観測データに適用し、特に22年周期モードスペクトルおよびm=1不安定性を検討すること。

提案手法

• 断熱的かつ非磁気的条件下における球対称な微分回転星における固有振動の一般化されたPDEを導出する。
• 「伝統的近似」を適用して径方向および角度的依存性を分離し、PDEを常微分方程式（ODE）の系に簡略化する。
• 微分回転を含むラプラスの潮汐方程式を一般化し、角度的固有関数はこの修正された方程式に従う。
• 一般化されたラプラス方程式の定性的な解析により、LKHI形成の十分条件を導出する。
• 低周波数および剛体回転の下での一般化されたラプラス方程式の数値解を用い、Jacobi多項式を用いた固有関数を得る。
• 実際の太陽の回転プロファイルを用いて不安定性およびモード構造を評価し、特に22年周期サイクルおよびm=1モードに注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の回転勾配を有する微分回転星における線形的・断熱的非径方向振動を支配する一般化されたPDEは何か？
• RQ2 伝統的近似は固有値問題をどのように簡略化するのか？また、星の振動理論におけるその適用領域は何か？
• RQ3 微分回転星において、緯度方向のケルビン＝ヘルムホルツ不安定性（LKHI）が形成される条件は何か？
• RQ4 22年周期の太陽モードスペクトルは、緯度および径方向にどのように空間的に分布し、その集中帯は何かによって決定されるか？
• RQ5 微分回転の影響により、m=1モードが太陽のエンベロープおよびタコクリーン全域でグローバル不安定性を示す可能性はあるか？

主な発見

• m=1モードは、太陽のエンベロープおよびタコクリーン全域でグローバル不安定性を示し、水平方向のほぼすべての緯度で不安定性が持続する。
• LKHIが消滅するための緯度方向回転勾配の下限値が存在する。小さな勾配では前方進みのLKHIが発生し、強い勾配では後方進みのLKHIが駆動される。
• 22年周期のモードスペクトルにおいて、遅いモードは赤道付近に集中し、速いモードは極付近に集中する。集中帯の幅は球面調和関数の次数lおよび方位角モード数mに依存する。
• 剛体回転の極限では、後方進みの波スペクトルのみが存在し、モードは速い波と遅い波の2つの分岐に分かれる。速い波は回転とは逆方向にエネルギーを運び、遅い波は回転方向に伝播する。
• 剛体回転下での低周波数モードの固有関数は、標準的な球面調和関数で用いられるルジャンドル多項式よりも高次のJacobi多項式で表される。
• モデルは22年周期モードのエネルギー帯が狭く、lおよびmに応じて緯度方向にシフトすることを予測しており、定量的な周波数は表に示されている（例：l=11, m=1：速いモード575 nHz、遅いモード33 nHz）。