[論文レビュー] Eigenprojectors, Bloch vectors and quantum geometry of $N$-band systems

Ansgar Graf, Frédéric Piéchon|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2021

Topological Materials and Phenomena参考文献 70被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固有状態の構成を避けることで、問題となるゲージ不変性の曇りや特異性を回避する、$N$-バンド系における量子幾何テンソル（ベリー曲率および量子計量）を計算するゲージ不変なフレームワークを導入する。2バンド系におけるベリー曲率の公式の$N$-バンド一般化を明示的に導出し、同一スペクトルを持つが異なる対称性を有する系における幾何的性質の相違を明らかにする。

ABSTRACT

The eigenvalues of a parameter-dependent $N imes N$ Hamiltonian matrix form a band structure in parameter space. Quantum geometric properties (Berry curvature, quantum metric, etc.) of such $N$-band systems are usually computed from parameter-dependent eigenstates. This approach faces several difficulties, including gauge ambiguities and singularities in the multicomponent eigenfunctions. In order to circumvent this problem, this work exposes an alternative approach based on eigenprojectors and (generalized) Bloch vectors. First, an expansion of each eigenprojector as a matrix polynomial in the Hamiltonian is deduced, and using SU($N$) Gell-Mann matrices an equivalent expansion of each Bloch vector is found. In a second step, expressions for the $N$-band Berry curvature and quantum metric in terms of Bloch vectors are obtained. This leads to new explicit Berry curvature formulas in terms of the Hamiltonian vector, generalizing the well-known two-band formula to arbitrary $N$. Moreover, a detailed treatment is given for the case of a particle-hole symmetric energy spectrum, which occurs in systems with a chiral or charge conjugation symmetry. For illustrating the formalism, several model Hamiltonians featuring a multifold linear band crossing are discussed; they have identical energy spectra but completely different geometric and topological properties. The methodology used in this work is more broadly applicable to compute any physical quantity, or to study the quantum dynamics of any observable without the explicit construction of energy eigenstates.

研究の動機と目的

• $N$-バンド系における固有状態に基づく量子幾何テンソルの計算におけるゲージの曇りや特異性を克服すること。
• 多成分固有状態を明示的に構成することなく、ベリー曲率および量子計量を計算する形式的枠組みを構築すること。
• SU($N$)群論を用いて2バンド系のベリー曲率公式を任意の$N$-バンド系に一般化すること。
• 粒子-ホール対称性を有する系（例えばチラル対称性や電荷共役対称性を有する系）を、新しい形式的枠組みを用いて分析すること。
• 同一のエネルギースペクトルを持つが、多重バンドギャップを持つモデルハミルトニアンを用いて、幾何的およびトポロジカル性質が著しく異なることが示されること。

提案手法

• 各固有射影子をハミルトニアン行列の行列多項式として展開する。
• 各固有射影子をSU($N$)のゲルマン行列を用いて表現し、一般化されたブロッホベクトルを定義する。
• これらのブロッホベクトルを用いて$N$-バンド系におけるベリー曲率および量子計量の明示的表現を導出する。
• ハミルトニアンベクトルを用いて2バンド系のベリー曲率公式を任意の$N$に一般化する。
• 多重線形バンドギャップを持つモデルハミルトニアンに形式的枠組みを適用し、幾何的性質を比較する。
• この手法が、固有状態の構成なしに物理的観測量の計算や量子ダイナミクスの研究に広く応用可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ依存の固有状態に依存せずに、$N$-バンド系における量子幾何テンソルをどのように計算できるか？
• RQ2 2バンド系のベリー曲率公式は、任意の$N$-バンド系にどのように一般化できるか？
• RQ3 同一のエネルギースペクトルを持つが異なる対称性を有する系では、幾何的およびトポロジカル性質がどのように異なるか？
• RQ4 粒子-ホール対称性は、$N$-バンド系における量子幾何にどのように寄与するか？
• RQ5 この形式的枠組みを用いて、固有状態の明示的計算なしに観測量を計算したり、ダイナミクスを研究したりできるか？

主な発見

• 本稿は、ハミルトニアンベクトルを用いた$N$-バンド系におけるベリー曲率のゲージ不変な表現を導出し、2バンド系の公式を任意の$N$に一般化した。
• 形式的枠組みにより、ブロッホベクトル展開を用いて$N$-バンド系における量子計量を計算でき、固有状態の特異性を回避できる。
• 粒子-ホール対称性を有する系では、形式的枠組みがベリー曲率および量子計量が対称性構造によって制約されることを明らかにした。
• 同一の線形バンドギャップを持つが、異なる対称性を有するモデルハミルトニアンは、形式的枠組みによって異なる幾何的およびトポロジカル性質を示すことが判明した。
• この手法により、固有状態を構成することなく、物理的観測量や量子ダイナミクスを直接計算できるようになり、数値的および解析的実行可能性が向上した。
• 固有射影子とブロッホベクトルの使用により、従来の固有状態に基づくアプローチに比べ、特異性のない強固な代替手法が得られた。