[論文レビュー] Eigenstate Thermalization and Spontaneous Symmetry Breaking in the One-Dimensional Transverse-Field Ising Model with Power-Law Interactions

Keith R. Fratus, Mark Srednicki|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2016

Quantum many-body systems参考文献 40被引用数 13

ひとこと要約

本研究は、指数1.5の長距離相互作用を有する1次元横磁場イジング模型において、固有状態熱化と量子カオスの両者を示した。秩序の破れ相では、無秩序性が存在しないにもかかわらず、熱的性質とGOEレベル統計を示すことが確認された。結果は1つのスピン変換対称性セクター内でも安定しており、長距離相互作用を有する清浄系で、有限温度のスピン自発的対称性の破れ相において、ETHおよびカオス的ダイナミクスが初めて明確に裏付けられた。

ABSTRACT

We study eigenstate thermalization and related signatures of quantum chaos in the one-dimensional ferromagnetic transverse-field Ising model with power-law interactions. The presence of long-range interactions allows for a finite-temperature phase transition despite the one-dimensional geometry of the model. Unlike previous studies of eigenstate thermalization in non-disordered systems with finite temperature phase transitions, our model possesses sufficiently many energy eigenstates below the critical energy density to allow us to make a definitive statement about the presence of eigenstate thermalization and chaotic level statistics in the broken-symmetry phase.

研究の動機と目的

• 長距離相互作用を有する清浄な1次元量子イジング模型の秩序の破れ相において、固有状態熱化と量子カオスが継続するかどうかを調査すること。
• 従来の研究では、小規模系のため秩序の破れ相に十分なエネルギー固有状態が得られなかったという制限を克服すること。
• 無秩序系において有限温度相転移を示す非秩序系で、固有状態熱化と自発的対称性の破れの明確な関連を確立すること。
• 特に$|X+\rangle$状態を初期状態として用い、時間発展を調べることで、長距離秩序のダイナミカルな出現を予測すること。

提案手法

• エネルギースペクトルを完全にアクセスできる27サイトの1次元横磁場イジング模型に、長距離相互作用（指数1.5）を導入し、正確対角化を実行する。
• 磁化演算子の固有状態期待値を分析し、固有状態熱化仮説（ETH）の検証を行う。
• レベル間隔統計を計算し、量子カオスの有無を評価し、ガウス正規直交群（GOE）と比較する。
• 時間発展における秩序パラメータの確率分布を、$|X+\rangle$初期状態を用いて検討し、偶数スピン変換対称性セクター内の状態が熱化すると仮定する。
• 熱力学的性質および臨界エネルギー密度のベンチマークとして、確率的級数展開（SSE）法を用いる。
• ヒルベルト空間を偶数および奇数のスピン変換対称性セクターに分離し、秩序の破れ相の性質を明確に分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離相互作用を有する清浄な1次元イジング模型の秩序の破れ相において、固有状態熱化仮説（ETH）は成立するか？
• RQ2 秩序の破れ相におけるレベル統計は、GOE統計と整合的であり、量子カオスを示すか？
• RQ3 対称性の高い相で準備された純粋な量子状態が、時間発展により安定した二峰性の秩序パラメータ分布にダイナミカルに至るか？これは自発的対称性の破れを示唆する。
• RQ4 秩序の破れ相におけるエネルギー固有状態の数は、系サイズにどのように依存するか？また、熱力学的相を支持するか？

主な発見

• 磁化演算子の対角成分がエネルギーの滑らかな関数に従うなど、明確な固有状態熱化の兆候が観測された。これは熱的期待と整合的である。
• 秩序の破れ相におけるレベル間隔統計は、ガウス正規直交群（GOE）と一致し、量子カオスが確認された。
• 臨界エネルギー密度未満のエネルギー固有状態の数は、系サイズに応じて十分に増加し、熱力学的相を支持することが示された。これは、従来の研究における主要な制限を解消した。
• $|X+\rangle$初期状態（臨界エネルギー密度未満）は、時間発展により秩序パラメータの安定した二峰性分布に至ると予測され、秩序の破れの性質を反映している。
• 結果は1つのスピン変換対称性セクター内でも安定しており、無秩序性や対称性セクターの平均化を必要としない。これは、従来の研究に比べて顕著な前進である。
• 交互に振動する性質を示す状態が指数関数的に増加しないことから、本モデルでは「F1相」のような真の熱力学的相が存在しないことが裏付けられた。