[論文レビュー] Eigenvalue asymptotics for randomly perturbed non-selfadjoint operators

Mildred Hager, Johannes Sjoestrand|ArXiv.org|Jan 16, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、${\bf R}^n$ 上の一般の $h$-擬微分作用素に対して、小さな確率的摂動——特に確率的積分作用素——が施された場合、半古典的極限 $h \to 0$ において、固有値分布がWeyl則に従うことが確率1で成り立つことを確立している。この結果は、以前の1次元の結果を拡張し、記号の解析的性や微分の独立性に関する仮定を緩和している。ヒルベルト＝シュミット型の確率的作用素とGrushin問題の技法を用いることで、スペクトル漸近展開が得られている。

ABSTRACT

We consider quite general $h$-pseudodifferential operators on $R^n$ with small random perturbations and show that in the limit of small $h$ the eigenvalues are distributed according to a Weyl law with a probabality that tends to 1. The first author has previously obtained a similar result in dimension 1. Our class of perturbations is different.

研究の動機と目的

• 非自己共役 $h$-擬微分作用素の確率的摂動に関する以前の1次元の結果を、多次元の場合に拡張すること。
• 先行研究と比較して、記号に関する仮定（例えば解析的性や微分の独立性）を弱めること。
• 元の作用素がWeyl漸近を満たさない場合でも、小さな確率的摂動の下で固有値分布がWeyl則に従うことを示すこと。
• 固有値分布がWeylの法則に従う確率が $h \to 0$ において1に近づくことを確立すること。
• スペクトル挙動の解析に用いるため、Grushin問題と確率的ヒルベルト＝シュミット作用素を組み合わせた枠組みを構築すること。

提案手法

• $S({\bf R}^{2n}, m)$ を記号空間とし、多項式成長条件を満たす順序関数 $m$ を用いた $h$-擬微分作用素の使用。
• $L^2({\bf R}^n)$ 上で作用素 $P$ をWeyl量子化によって定義すること。
• 正規直交基底上で作用する、独立同一分布のガウス係数を持つ確率的積分作用素を用いた確率的摂動の導入。
• スペクトル解析をトレースクラスおよびヒルベルト＝シュミットノルムの推定に還元するため、Grushin問題の枠組みを適用すること。
• ガウス確率的行列の行列式推定と関数解析的計算を用いて、固有値分布を制御すること。
• ヒルベルト＝シュミット型確率的作用素理論（特に、正規直交基底変換に対して分布が不変であるという性質）を活用し、スペクトル測度のほとんど確実な収束を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己共役 $h$-擬微分作用素の固有値分布は、高次元において小さな確率的摂動の下でWeyl則に収束するか？
• RQ2 元の作用素がWeylの法則を満たさない場合でも、半古典的極限 $h \to 0$ においてWeyl漸近が回復可能か？
• RQ3 確率的摂動の下で、固有値分布がWeylの法則に従う確率は $h \to 0$ のときどのように振る舞うか？
• RQ4 確率的摂動のヒルベルト＝シュミット構造がスペクトル安定性を保証する役割を果たすか？
• RQ5 記号の微分の解析的性や独立性を仮定せず、スペクトル漸近を導出可能か？

主な発見

• 極限 $h \to 0$ において、摂動された作用素の固有値は、確率1でWeyl則に従う。
• ${\bf R}^n$ 上の広範なクラスの $h$-擬微分作用素に対してこの結果が成り立ち、記号の解析的性や $dp$ と $d\overline{p}$ の独立性を仮定しない。
• 確率的摂動は、独立同一分布のガウス係数を持つヒルベルト＝シュミット作用素として与えられ、スペクトル測度のほとんど確実な収束を保証する。
• Grushin問題の技法により、スペクトル解析が確率的作用素の行列式およびヒルベルト＝シュミットノルムの推定に還元される。
• 確率的係数の同時分布は正規直交基底変換に対して不変であるため、頑健な確率的推定が可能になる。
• 本手法により、$\Omega \Subset {\bf C} \setminus \Sigma_\infty$ のような領域における固有値の個数が、$h \to 0$ において高確率でWeyl体積 $\mathrm{vol}(p^{-1}(I))$ に漸近的に一致することが示された。