[論文レビュー] Eigenvalue asymptotics for Schr\\"odinger operators on sparse graphs

Michel Bonnefont, Sylvain Golénia+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 36被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、シュレーディンガー作用素の固有値漸近挙動を、ラプラシアンと頂点次数関数の関係における関数不等式に結びつけることで、スパースなグラフ上での固有値漸近挙動を確立する。スパース性がラプラシアンを次数関数によって制御する形式不等式を導くことを証明し、関数解析的手法を用いて明示的な固有値漸近挙動およびスペクトル離散性の条件を導出する。

ABSTRACT

We consider Schr\\"odinger operators on sparse graphs. The geometric definition of sparseness turn out to be equivalent to a functional inequality for the Laplacian. In consequence, sparseness has in turn strong spectral and functional analytic consequences. Specifically, one consequence is that it allows to completely describe the form domain. Moreover, as another consequence it leads to a characterization for discreteness of the spectrum. In this case we determine the first order of the corresponding eigenvalue asymptotics.

研究の動機と目的

• スパースグラフ上でのシュレーディンガー作用素のスペクトル離散性および固有値漸近挙動を特徴付けること。
• 幾何的スパース性が頂点次数関数によってラプラシアンを制御する関数不等式と同値であることを示すこと。
• このようなグラフ上でのシュレーディンガー作用素の形式的ドメインを完全に記述すること。
• 導出された関数不等式とスペクトル比較原理を用いて、一次の固有値漸近挙動を導出すること。

提案手法

• 局所的に有限なグラフに対して、有限部分集合における辺の数の均一な上限によって定義される幾何的スパース性の概念を導入すること。
• この幾何的スパース性が、$a \to 0^+$ および $k \to 0$ の下で、形式的意味において $(1-a)\text{deg} - k \trianglelefteq \trianglelefteq (1+a)\text{deg} + k$ という関数不等式と同値であることを証明すること。
• 関数不等式を用いて、シュレーディンガー作用素 $\triangle + q$ の形式的ドメインを明示的に特徴付けること。
• スペクトル比較定理（例：定理 A.2）を適用し、次数関数によって制御される基準作用素の固有値と $\triangle + q$ の固有値を関連付けること。
• 形式的核と閉グラフ定理を用いて、作用素の有界性および自己共役性を保証すること。
• 補題 A.3 を活用して形式的摂動を取り扱い、ポテンシャルおよび磁場の仮定の下で不等式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの幾何的スパース性は、関連するシュレーディンガー作用素のスペクトル的性質とどのように関係するか？
• RQ2 スパースグラフ上でのシュレーディンガー作用素の形式的ドメインは明示的に特徴付け可能か？
• RQ3 シュレーディンガー作用素のスペクトルが離散的であるための条件は何か？
• RQ4 スパースグラフ上での、保存スペクトル以下の固有値の一次の漸近挙動は何か？
• RQ5 次数関数を含む関数不等式は、ラプラシアンのスペクトル的挙動をどのように制御するか？

主な発見

• グラフの幾何的スパース性は、$a \to 0^+$ および $k \to 0$ の下で、形式的意味において $(1-a)\text{deg} - k \trianglelefteq \trianglelefteq (1+a)\text{deg} + k$ という形の関数不等式と同値である。
• この不等式により、シュレーディンガー作用素 $\triangle + q$ の形式的ドメインが、$\text{dom}(\triangle)$ に属する関数で、かつ $q^{1/2}\text{dom}(\triangle)$ が $\text{dom}(\triangle)$ に属する関数の集合として明示的に特徴付けられる。
• $\triangle + q$ のスペクトル離散性は、次数関数が無限遠で十分に速く増加することの条件によって特徴付けられる。
• 保存スペクトル以下の固有値の一次の漸近挙動は、次数関数によって制御される基準作用素との比較によって決定される。
• 固有値漸近挙動は、$|x| \to \text{infty}$ のとき $c_1 \frac{\text{deg}(x)}{1 + \text{deg}(x)} \to \text{const}$ を満たし、定数は $\text{deg}$ の増加率に依存する。
• スペクトル下端および保存スペクトルは関数不等式によって制御され、下端が有限であることは、次数関数が有界であることと同値である。