[論文レビュー] Eigenvalue bounds for non-self-adjoint Schrödinger operators with the inverse-square potential

Haruya Mizutani|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ ($n \geq 3$) 上の非自己共役シュレーディンガー作用素に対して、逆二乗ポテンシャルおよび複素数値摂動をもつ場合のケラー型固有値評価を確立する。強く特異なポテンシャルを持つリゾルベントに関する一様ソボレフ不等式を証明することで、スペクトル半径を制御する固有値の $L^{n/2+\gamma,\infty}$-ノルム評価を導出し、臨界的特異性および類似の特異性を示す臨界的でないポテンシャルへ既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study spectral properties of non-self-adjoint Schrödinger operators $-Δ-\frac{(n-2)^2}{4|x|^{2}}+V$ on $\mathbb{R}^n$ with complex-valued potentials $V\in L^{p,\infty}$, $p>n/2$. We prove Keller type inequalities which measure the radius of a disc containing the discrete spectrum, in terms of the $L^{p,\infty}$ norm of $V$. Similar inequalities also hold if the inverse-square potential is replaced by a large class of subcritical potentials with critical singularities at the origin. The main new ingredient in the proof is the uniform Sobolev inequality of Kenig-Ruiz-Sogge type for Schrödinger operators with strongly singular potentials, which is of independent interest.

研究の動機と目的

• 臨界的逆二乗ポテンシャル $-\frac{(n-2)^2}{4|x|^2}$ および複素数値ポテンシャルをもつ非自己共役シュレーディンガー作用素に対して、ケラー型固有値評価を拡張すること。
• ポテンシャルが $L^p$ に属さないが弱-$L^p$ 空間、特に $L^{n/2+\gamma,\infty}$ に属する場合、このような作用素に対するスペクトル推定が不足しているという点を扱うこと。
• 強特異ポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素のリゾルベントに関する一様ソボレフ不等式を確立すること。これは独立に興味深い結果である。
• 逆二乗の場合を超えて、原点で臨界的特異性を示す臨界的でないポテンシャルのクラスへ評価を一般化すること。

提案手法

• 証明は、固有値推定をリゾルベント $(-\Delta - z)^{-1}$ を含むバーマン＝シュヴィンガー核の境界に還元するバーマン＝シュヴィンガーの原理に依存する。
• 主な革新点は、$z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ に対して有効である、$(-\Delta - C_{\rm H}|x|^{-2} - z)^{-1}$ のケニグ＝ルイズ＝ソッゲ型の一様ソボレフ不等式の導出である。
• リゾルベントの $L^{p,2} \to L^{p'\!,2}$ 演算子ノルムにおける $|z|$ に関する減衰を制御するために、複素スケーリングとカーレマン推定を用いる。
• より特異なポテンシャルを扱うために、弱リーマンノルム $\|V\|_{L^{n/2+\gamma,\infty}}$ が用いられ、$L^{n/2+\gamma}$ よりも特異性の高いポテンシャルを扱えるようにする。これにより、$p \neq n/2$ のとき $L^p$ 外の $|x|^{-2}$ のようなポテンシャルに対しても評価が可能になる。
• 摂動的推定とハーディー型不等式を用いて、仮定 1.4 を満たす臨界的でないポテンシャル $V_\delta$ をもつ作用素へ議論を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己共役シュレーディンガー作用素に対して、臨界的逆二乗ポテンシャルおよび複素数値ポテンシャルが $L^{n/2+\gamma,\infty}$ に属する場合に、ケラー型固有値評価を確立できるか。
• RQ2 臨界的特異性を示す非自己共役の場合に、離散固有値のスペクトル半径を制御するための最適な $L^p$-型ノルムは何か。
• RQ3 強特異ポテンシャル（例：$C_{\rm H}|x|^{-2}$）をもつシュレーディンガー作用素に対して、一様ソボレフ不等式をどのように拡張できるか。
• RQ4 固有値評価を逆二乗の場合を超えて、原点で臨界的特異性を示す臨界的でないポテンシャルのクラスへ一般化できるか。
• RQ5 弱リーマンノルム $L^{p,\infty}$ は、より特異なポテンシャルへスペクトル推定を拡張するために果たす役割は何か。

主な発見

• 固有値 $E \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ に対して、$\gamma > 0$ および $n \geq 3$ に対して、$|E|^\gamma \leq C_{\gamma,n} \|V\|_{L^{n/2+\gamma,\infty}}^{n/2+\gamma}$ の形のケラー型不等式が証明される。ここで $C_{\gamma,n}$ は $V$ や $E$ に依存しない。
• この評価は、$V$ が $L^{n/2+\gamma}$ に属さないが弱-$L^{n/2+\gamma}$ 空間にのみ属する場合にも成り立つ。これにより、$p \neq n/2$ のとき $L^p$ 外の $|x|^{-2}$ のようなポテンシャルも取り扱える。
• リゾルベント $(-\Delta - C_{\rm H}|x|^{-2} - z)^{-1}$ に対して、ケニグ＝ルイズ＝ソッゲ型の一様ソボレフ不等式が確立され、演算子ノルムの評価 $C_p |z|^{-\frac{n+2}{2} + \frac{n}{p}}$ が得られる。ここで $2n/(n+2) < p \leq 2(n+1)/(n+1)$ である。
• この方法は、仮定 1.4 を満たす臨界的でないポテンシャル $V_\delta$ へも拡張可能であり、$V$ の弱-$L^{n/2+\gamma}$ ノルムに同じ依存関係を示す類似の固有値評価が得られる。
• 臨界ケースでは、リゾルベントの評価から、解 $u = (H_\delta - z)^{-1}f$ に対して $\|r^{-1}u\|_{L^2}^2 \leq C \delta^{-4} \|rf\|_{L^2}^2$ のような評価が得られ、これがスペクトル推定において中心的な役割を果たす。
• 本稿の結果は、より特異なポテンシャルを許容し、非自己共役作用素に臨界的逆二乗および関連する特異性を含む範囲へ適用範囲を拡張する点で、先行研究を改善する。