[論文レビュー] Eigenvalue density of empirical covariance matrix for correlated samples

Z. Burda, J. Jurkiewicz+1 more|ArXiv.org|Aug 19, 2005

Random Matrices and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、標本が相関を持つ場合の経験的共分散行列の固有値密度を計算する手法を提示し、Marčenko-Pasturの法則を一般化する。生成関数および解像度関数の技法を用いて、$N\to\infty$、$N/T=r=\text{const}$ の極限においてスペクトル密度の正確な式を導出する。標本間の相関は、有効な$r$比を再スケーリングし、スペクトルを再スケーリングすることで、相関のある状況における固有値分布の正確な予測を可能にする。

ABSTRACT

We describe a method to determine the eigenvalue density of empirical covariance matrix in the presence of correlations between samples. This is a straightforward generalization of the method developed earlier by the authors for uncorrelated samples. The method allows for exact determination of the experimental spectrum for a given covariance matrix and given correlations between samples in the limit of large N and N/T=r=const with N being the number of degrees of freedom and T being the number of samples. We discuss the effect of correlations on several examples.

研究の動機と目的

• 標本が相関を持つ場合、特に相関のない場合に限らない、Marčenko-Pasturの法則を拡張すること。
• 真の共分散行列と標本相関構造が既知であるとき、経験的共分散行列の固有値密度を正確に計算するための手法を提供すること。
• 相関のある標本が、有効な$r$パラメータで再スケーリングされた未相関Wishartアンサンブルに効果的に写像できることを示すこと。
• 時間的相関が存在するファイナンスや通信技術の応用分野において、スペクトルの正確な予測を可能にすること。

提案手法

• 標本相関行列$\mathbf{A}$と真の共分散$\mathbf{C}$を組み込んだ連続ガウス測度に基づくWishartアンサンブルの形式的枠組み。
• $\mathbf{C}$, $\mathbf{A}$, 経験的共分散$\mathbf{c}$のスペクトルモーメントのための生成関数$M_{\mathbf{C}}(z)$, $M_{\mathbf{A}}(z)$, および$m_{\mathbf{c}}(z)$の使用。
• 補助変数$Z$を介して$m_{\mathbf{c}}(z)$と$z$を結ぶ2つの重要な方程式の導出。$M_{\mathbf{C}}(Z)$および$M_{\mathbf{A}}(z)$の逆行列を含む。
• 解像度関数$g_{\mathbf{c}}(z) = (m_{\mathbf{c}}(z) + 1)/z$の計算および、$\rho_{\mathbf{c}}(x) = -\frac{1}{\pi}\text{Im}\,g_{\mathbf{c}}(x+i0^+)$による固有値密度の抽出。
• 小$ r $に対する漸近的展開により、$\mathbf{A}$の効果が$\mu_1 = M_{\mathbf{A}2}/(M_{\mathbf{A}1})^2$で$r$を再スケーリングすることに等しいことが示される。
• 再スケーリングされたWishartスペクトルとの数値的比較による検証により、小$ r $における有効な$r$-再スケーリングが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標本間の時間的相関が、経験的共分散行列の固有値分布にどのように影響するか？
• RQ2 真の共分散行列と相関構造が既知である場合、標本が相関を持つとき、経験的共分散行列の固有値密度を正確に計算できるか？
• RQ3 相関のある標本が、修正された$r$パラメータを持つ等価な未相関Wishartアンサンブルにどの程度正確に写像できるか？
• RQ4 標本相関が、経験的共分散スペクトルの端縁部およびバルク部に及ぼす定量的影響は何か？

主な発見

• 小$ r = N/T $に対して、相関のある標本の経験的共分散行列の固有値密度は、有効な$r' = r \cdot \mu_1$を用いた未相関アンサンブルに適用したMarčenko-Pastur法により良好に近似される。ここで$\mu_1 = M_{\mathbf{A}2}/(M_{\mathbf{A}1})^2$である。
• $\mathbf{C} = \mathbf{1}$のとき、$\rho_{\mathbf{c}}(x)$の左スペクトルエッジ$x_-$は、$x_- \approx 1 - \sqrt{r'}$とスケーリングされ、有効な$r$-再スケーリングが確認される。
• 数値的結果により、$r \lesssim 0.1$のとき、相関のある標本のスペクトルと再スケーリングされたWishartスペクトルとの間で極めて良好な一致が得られ、有効な$r$-再スケーリングが検証される。
• 与えられた任意の$\mathbf{C}$および$\mathbf{A}$に対して、$m_{\mathbf{c}}(z)$, $z$, および$Z$を結ぶ2つの式を用いて、$\rho_{\mathbf{c}}(x)$の正確な計算が可能である。$M_{\mathbf{A}}^{-1}$を用いて生成関数を逆算する。
• 相関の効果は、生成関数$M_{\mathbf{A}}(z)$によって完全に捉えられ、スペクトルは$M_{\mathbf{A}1}$によって再スケーリングされ、これは正規化因子として機能する。
• 本手法は、短期間の相関のあるリターンを伴うポートフォリオ最適化や、ランダム媒体における信号伝播といった、実世界の問題に適用可能である。