[論文レビュー] Eigenvalue distribution for non-self-adjoint operators with small multiplicative random perturbations

Johannes Sjoestrand|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の次元において、非自己随伴擬微分作用素の固有値分布に対して、小規模な乗法的確率的摂動の下でウェイの漸近的性質を確立する。複素解析と繰り返し特異値推定に基づく新しい確率的アプローチを開発することで、$h \to 0$ の際に、コンpactなスペクトル集合 $\Omega$ 内の固有値の数が、記号のレベル集合の位相空間体積に高確率で収束することを証明する。

ABSTRACT

In this work we continue the study of the Weyl asymptotics of the distribution of eigenvalues of non-self-adjoint (pseudo)differential operators with small random perturbations, by treating the case of multiplicative perturbations in arbitrary dimension. We were led to quite essential improvements of many of the probabilistic aspects.

研究の動機と目的

• 任意の次元において、非自己随伴作用素に対して、固有値分布のウェイの漸近的性質を、小規模な乗法的確率的摂動へと拡張すること。
• 非ゼロのポアソン括弧を要請するか、1次元に限定された先行研究の制限を克服すること。
• スペクトル集合 $\Omega$ 内の固有値数が、記号のレベル集合の位相空間体積に集中することを保証する確率的枠組みを確立すること。
• 繰り返し特異値推定を用いて、摂動から生じる有効ハミルトニアン行列の行列式の下界を新たに確立すること。

提案手法

• 解析には、$\mathbb{R}^{2n}$ 上の順序関数 $m$ を用いたクラス $S(m)$ の記号の半古典的擬微分作用素計算と、ウェイ量子化を用いる。
• 確率的乗法的摂動は、楕円的 $h$-擬微分作用素の正規直交固有関数の和に、独立な複素ガウス確率変数を重みづけしてモデル化される。
• 鍵となる技術は、固有値分布を制御する有効ハミルトニアン行列 $E_{-+}^\delta$ の構築であり、その小ささの確率を複素解析を用いて推定すること。
• 摂動行列の特異値の下界を導くために、反復的正規化手順が用いられ、$E_{-+}^\delta$ の行列式が通常ゼロから離れていることを保証する。
• 明示的なガウス計算を避けるために、複素解析的推定を用いることで、ガウス入力に限らないより一般な確率的摂動の取り扱いが可能になる。
• 証明は、グリューシン問題を用いてスペクトル解析を有限次元行列問題に還元し、$h$-擬微分作用素理論を用いて誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己随伴作用素が小規模な乗法的確率的摂動を受ける場合、任意の次元において固有値分布のウェイの漸近的法則が成立するか？
• RQ2 $h \to 0$ の際に、コンパクトなスペクトル集合 $\Omega \Subset \mathbb{C}$ 内の固有値数が、位相空間体積 $\mathrm{vol\,}(p^{-1}(\Gamma))$ に高確率で集中するか？
• RQ3 ポアソン括弧 $\{p, \overline{p}\}$ がゼロであっても、固有値分布がウェイの法則に従うために必要な最小の確率的条件は何か？
• RQ4 有効ハミルトニアン行列の行列式を一様に下から押さえ込むには、どのようにすればよいか？ これにより、スペクトルシフトが退化しないことを保証できる。
• RQ5 ガウス確率変数を超えるより一般な非ガウス的摂動に対しても、ウェイの漸近的性質が保たれるように、解析を拡張できるか？

主な発見

• $\delta = e^{-\epsilon/h}$ のとき、コンパクト集合 $\Gamma \Subset \mathbb{C}$ 内の $P_\delta$ の固有値数は、$h \to 0$ の際に高確率で $\left| \#(\sigma(P_\delta) \cap \Gamma) - \frac{1}{2\pi h} \mathrm{vol\,}(p^{-1}(\Gamma)) \right| \leq \frac{C\sqrt{\epsilon}}{h} $ を満たす。
• 弱い条件下でも成立する：$V_z(t) = \mathcal{O}(t^\kappa)$ で、$\kappa \in (0,1]$ である。これにより、記号のレベル集合に特異点が存在しても問題ない。
• 従来の加法的摂動や1次元に限った設定に比べ、$\mathbb{R}^n$ 内の乗法的摂動に対しても効果的に扱える。
• $E_{-+}^\delta$ の有効ハミルトニアン行列の行列式は、繰り返し特異値推定により、高確率でゼロから離れていることが示された。
• ガウス計算を避けるために複素解析的技法を用いることで、より一般な確率的摂動の取り扱いが可能になった。
• 対称性仮定 $P(x,-\xi;h) = P(x,\xi;h)$ を用いることで、実数の主要記号構造を保ち、スペクトル解析を簡略化した。