[論文レビュー] Eigenvalues inequalities for convex and logconvex functions

Jaspal Singh Aujla Jean-Christophe Bourin|ArXiv.org|Jan 31, 2006

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、凸および対数凸関数に対する古典的固有値不等式の行列版を確立し、正定値自己共役行列と単調な凹関数 $ f $ に対して、あるユニタリ行列 $ U, V $ を用いて $ f(A+B) \leq Uf(A)U^* + Vf(B)V^* $ が成り立つことを証明する。主な貢献の一つは、固有値に関する新しい算術-幾何平均不等式である：すべての $ k \leq n $ に対して $ \prod_{j=1}^k \lambda_j^\uparrow(\sqrt{|AB|}) \leq \prod_{j=1}^k \lambda_j^\uparrow\left(\frac{A+B}{2}\right) $ が成り立ち、これは行列式の対数凹性の性質を一般化する。

ABSTRACT

Eigenvalues inequalities involving (log) convex/concav functions and Hermitian matrices, positive unital maps are considered. Simple proofs of Bhatia-Kittaneh inequality and Naimark dilation theorem are given.

研究の動機と目的

• スカラーの固有値不等式を、ユニタリ同倣を用いて行列設定に拡張すること。
• ユニタリ共役を許容することで、作用素凸関数に対するチョイの不等式を単調凸関数に一般化すること。
• 特に、正定値行列の積や算術-幾何平均に関連する、対数凸関数に対する新たな固有値不等式を導出すること。
• ユニタリ同値性とノルムの優越関係を用いて、バティア-キッタンヒの算術-幾何平均不等式の簡単な証明を提供すること。
• バティア-キッタンヒの結果の逆変換を用いて、固有値に関する新しい調和-幾何平均不等式を確立すること。

提案手法

• ユニタリ同倣を用いて固有値の優越関係を保ちつつ、チョイの不等式を単調凸関数に拡張する。
• 回転原理（ロトフェルト）とトレース不等式を応用し、$ f(A+B) $ のノルムおよびトレースの上限を導出する。
• $ A \circ B = (A \otimes B)_{\mathcal{E}} $ がクロネッカー積の圧縮であるという事実を活用し、ハダマード積と固有値不等式を関連付ける。
• 最小最大原理と作用素ノルムの推定を用いて、単位ベクトル $ h $ に対して $ \|Ah\|\|Bh\| $ を用いて $ \lambda_k^\downarrow(|AB|) $ を評価する。
• ウェイルの定理（固有値積に関する）を適用し、$ \prod \lambda_j^\downarrow(|A_1 \cdots A_m|^{1/m}) $ を個々の固有値の対称平均と比較する。
• バティア-キッタンヒの結果の逆変換とユニタリ共役を用いて、主な不等式 $ \prod_{j=1}^k \lambda_j^\uparrow(\sqrt{|AB|}) \leq \prod_{j=1}^k \lambda_j^\uparrow\left(\frac{A+B}{2}\right) $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の凹関数に対して成り立つ古典的スカラー不等式 $ f(a+b) \leq f(a) + f(b) $ は、ユニタリ変換を用いて行列に拡張可能だろうか？
• RQ2 作用素凸関数に対するチョイの不等式は、ユニタリ共役を許容すれば、単調凸関数に対しても成立するだろうか？
• RQ3 対数凸関数に対して、特に $ \sqrt{|AB|} $ と $ \frac{A+B}{2} $ に関連して、どのような固有値不等式が行列設定で得られるだろうか？
• RQ4 行列の積や算術-幾何平均に関連する、行列の算術-幾何平均不等式を、行列式の対数凹性の性質を一般化する形で導出可能だろうか？
• RQ5 $ |A_1 \cdots A_m|^{1/m} $ に対して、そのトレースを $ A_i $ のトレースの算術平均で上から抑えるトレース不等式は存在するだろうか？

主な発見

• 任意の $ [0,\infty) $ 上の単調な凹関数 $ f $ で $ f(0) \geq 0 $ を満たすものに対して、すべての $ A,B \in \mathcal{S}_n $ に対して、あるユニタリ行列 $ U,V $ が存在し、$ f(A+B) \leq Uf(A)U^* + Vf(B)V^* $ が成り立つ。
• すべての $ k = 1,\dots,n $ に対して不等式 $ \prod_{j=1}^k \lambda_j^\uparrow(\sqrt{|AB|}) \leq \prod_{j=1}^k \lambda_j^\uparrow\left(\frac{A+B}{2}\right) $ が成り立ち、これは行列式の対数凹性を一般化する。
• 調和-幾何平均不等式が導出された：すべての $ k \leq n $ に対して $ \prod_{j=1}^k \lambda_j^\downarrow(\sqrt{|AB|}) \geq \prod_{j=1}^k \lambda_j^\downarrow\left(\frac{2}{A^{-1}+B^{-1}}\right) $ が成り立つ。
• バティア-キッタンヒの算術-幾何平均不等式は、作用素ノルムと最小最大原理を用いた短いユニタリに基づく議論により再証明された。
• 正定値行列 $ \{A_i\} $ を $ m $ 個とすると、トレース不等式 $ \text{tr}(|A_1\cdots A_m|^{1/m}) \leq \text{tr}\left(\frac{A_1+\cdots+A_m}{m}\right) $ が成り立ち、$ m $ 乗についても同様の評価が得られる。
• 本稿では、非負の凹関数 $ f $ に対して $ \|f(A+B)\| \leq \|f(A)+f(B)\| $ が成り立つと予想しており、これは最近のコセムの結果を作用素ノルムの場合に拡張するものである。