[論文レビュー] Eigenvalues of finite rank Bratteli-Vershik dynamical systems

Xavier Bressaud, Fabien Durand+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限ランクのBratteli-Vershik力学系における連続的で測度的可測な固有値を調査し、連続的固有値が常にインシデント行列の安定部分空間から生じることを証明する。Toeplitz型の有限ランク系では、可測固有値は常に有理数であるが、連続的であるとは限らず、非連続的固有値が存在するのは有限の順序に限られることを示し、-1 が可測的ではあるが連続的ではない固有値となる構成例を提示する。

ABSTRACT

In this article we study conditions to be a continuous or a measurable eigenvalue of finite rank minimal Cantor systems, that is, systems given by an ordered Bratteli diagram with a bounded number of vertices per level. We prove that continuous eigenvalues always come from the stable subspace associated to the incidence matrices of the Bratteli diagram and we study rationally independent generators of the additive group of continuous eigenvalues. Given an ergodic probability measure, we provide a general necessary condition to be a measurable eigenvalue. Then we consider two families of examples. A first one to illustrate that measurable eigenvalues do not need to come from the stable space. Finally we study Toeplitz type Cantor minimal systems of finite rank. We recover classical results in the continuous case and we prove measurable eigenvalues are always rational but not necessarily continuous.

研究の動機と目的

• 複素数が有限ランク最小Cantor系において連続的または可測的固有値であるための必要十分条件を特定すること。
• このような系における可測固有値が、連続的固有値理論からの仮定に反して、常にインシデント行列の安定部分空間から生じるかどうかを調査すること。
• 有限ランクのToeplitz型Cantor最小系を分析し、その固有値の構造と有理数性に注目すること。
• 非連続的可測固有値を有する一意的エルゴード的で弱混合でない有限ランク系の例を構成することにより、可測固有値が常に安定空間から生じるとは限らないことを示すこと。

提案手法

• 各段階の頂点数が有界であるBratteli-Vershik表現を用いて、有限ランク最小Cantor系をモデル化する。
• インシデント行列の安定部分空間理論を適用し、連続的固有値を特徴付ける。
• Egoroffの定理と測度論的収束を用いて、固有関数列のほとんど everywhere での収束を分析する。
• 帰還時間の構造と行列列を用いて、可測固有値の必要条件を導出する。
• ランク3、特徴的列 $ q_n = 3^{l_n} $ を持つ特定のToeplitz型系を構成し、再帰的タワーコンカタネーションにより固有関数を定義する。
• 固有関数列 $ f_n $ の収束を分析し、$ f \notin C(X) $ だが $ f \notin L^2 $-a.e. で $ f \times T = -f $ を満たすことを確認することで、固有値の性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ランクBratteli-Vershik系における可測固有値は、連続的固有値がそうであるように、常にインシデント行列の安定部分空間から生じるのか？
• RQ2 不変エルゴード測度を伴う有限ランク最小系において、複素数が可測固有値であるための条件は何か？
• RQ3 Toeplitz型有限ランク系において非連続的可測固有値が存在しうるか。もし存在するならば、その順序に課される制約は何か？
• RQ4 このような系において非連続的固有値の順序に有限上界が存在するか。また、これは系のランクから導出可能か？
• RQ5 一意的エルゴード的で弱混合でない有限ランク系において、-1 のような可測固有値を構成できるか？

主な発見

• 有限ランク最小Cantor系の連続的固有値は、常にインシデント行列列の安定部分空間から生じる。
• 有理数的に独立な連続的固有値の最大数は、系のランクによって上限が与えられる。
• 有限ランク系における可測固有値は、連続的であるとは限らず、一意的エルゴード系であっても非連続的であることがある。
• Toeplitz型有限ランク系では、すべての可測固有値が有理数であり、その順序は系のランクによって上限が与えられる。
• -1 が可測固有値ではあるが連続的固有値ではない例が構成可能であり、可測固有値が常に安定部分空間から生じるとは限らないことを示している。
• -1 を可測固有値とする系は一意的エルゴード的で弱混合ではなく、固有関数の収束は a.e. ではあるが一様ではないため、非連続性が確認される。