[論文レビュー] Eigenvalues of Laplacian and multi-way isoperimetric constants on weighted Riemannian manifolds

Kei Funano|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 42被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、非負の Bakry-Émery リッチ曲率を持つ閉重み付きリーマン多様体上で、重み付きラプラシアンの固有値および多方向等周的定数に関する定量的普遍不等式を確立する。熱半群技法と測度集中の議論を用いて、$k$-番目の固有値と $k$-方向等周的定数が $k$ の多項式的要因の範囲で同値であることを示し、境界において $k$ に指数的依存性を有する明示的な定数を含む。

ABSTRACT

We investigate the distribution of eigenvalues of the weighted Laplacian on closed weighted Riemannian manifolds of nonnegative Bakry-Émery Ricci curvature. We derive some universal inequalities among eigenvalues of the weighted Laplacian on such manifolds. These inequalities are quantitative versions of the previous theorem by the author with Shioya. We also study some geometric quantity, called multi-way isoperimetric constants, on such manifolds and obtain similar universal inequalities among them. Multi-way isoperimetric constants are generalizations of the Cheeger constant. Extending and following the heat semigroup argument by Ledoux and E. Milman, we extend the Buser-Ledoux result to the $k$-th eigenvalue and the $k$-way isoperimetric constant. As a consequence the $k$-th eigenvalue of the weighted Laplacian and the $k$-way isoperimetric constant are equivalent up to polynomials of $k$ on closed weighted manifolds of nonnegative Bakry-Émery Ricci curvature.

研究の動機と目的

• 非負の Bakry-Émery リッチ曲率を有する閉重み付きリーマン多様体上での重み付きラプラシアンの固有値の間の普遍的かつ定量的不等式を導出すること。
• Cheeger 定数の一般化としての $k$-番目固有値および $k$-方向等周的定数への Buser-Ledoux 型不等式を拡張すること。
• 観測可能直径と測度集中を介して、$k$-番目固有値と $k$-方向等周的定数を次元に依存しない境界で結びつけること。
• 非負曲率条件の下で、固有値および等周的比の $k$ における安定性および多項式的依存性を調査すること。

提案手法

• Ledoux および E. Milman の熱半群法を拡張し、高階スペクトル的および等周的量を分析する。
• 測度集中の一般化としての $k$-分離の概念を導入し、固有値および等周的定数と結びつける。
• Davies-Gaffney 熱核推定とスペクトル漸近展開を用いて、集合上での熱量の減少を制御する。
• 直径の次元に依存しない代替物としての観測可能直径 $ ext{ObsDiam}_{\mathbb{R}}((M,\mu); -\kappa)$ を用い、濃度不等式を通じて固有値と結びつける。
• 体積の反復減少推定を $h_k(M,\mu)$、すなわち $k$-方向等周的定数を用いて、集合の合併の近傍測度を評価する。
• 次元に依存しない定数 $c$ を用いた、等周的不等式の反復適用により $k$ における指数的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の Bakry-Émery リッチ曲率を有する閉重み付きリーマン多様体において、$\lambda_k(M,\mu)/\lambda_1(M,\mu)$ の比が $k$ の多項式で有界であるかどうか。
• RQ2 $k$-方向等周的定数 $h_k(M,\mu)$ が $k$-番目の固有値 $\lambda_k(M,\mu)$ と多項式的要因の範囲で同値であるかどうか。
• RQ3 固有値比における $k$ への指数的依存性を多項式境界に改善できるか、あるいは $\exp(ck)$ が最適であるか。
• RQ4 濃度位相または非負曲率を有するアレクサンドロフ空間において、固有値および等周的定数の安定性が成り立つかどうか。
• RQ5 E. Milman の濃度からスペクトルへの不等式を、一般の CD$(0,\infty)$ 空間における $k$-分離および $k$-番目固有値に拡張できるか。

主な発見

• $k$-番目固有値 $\lambda_k(M,\mu)$ は、次元に依存しない普遍定数 $c>0$ を用いて $\exp(ck)\lambda_1(M,\mu)$ で上から有界である。
• $k$-方向等周的定数 $h_k(M,\mu)$ は、$\lambda_k(M,\mu) \lesssim \exp(ck) h_k(M,\mu)^2$ を満たし、$\exp(ck)$ 要因の範囲で同値であることを示す。
• 観測可能直径は、$\text{ObsDiam}_{\mathbb{R}}((M,\mu); -\kappa) \leq \frac{\exp(ck)}{\sqrt{\lambda_k(M,\mu)}} \log \frac{1}{\kappa}$ を満たし、Gromov-V. Milman の第一固有値結果を拡張する。
• 任意の $k$ に対して、比 $\lambda_k(M,\mu)/\lambda_1(M,\mu)$ は $\exp(ck)$ で有界であり、同様に $h_k(M,\mu)/h_1(M,\mu)$ の比に対しても同様の境界が成り立ち、両者とも次元に依存しない。
• 証明は $h_k(M,\mu)$ を用いた反復的体積減少に依存し、$k+1$ 個の集合が $k$-分離でない場合、それらの合併の近傍測度が小さいことを示す。
• 結果は、$C^2$ 界面を有する凸領域に Neumann 条件を課した場合にも同様の証明構造で拡張可能である。