[論文レビュー] Eigenvalues of rank one perturbations of unstructured matrices

André C. M. Ran, Michał Wojtylak|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素行列 $ A $ およびベクトル $ u,v $ に対するランク1の摂動 $ A + \tau uv^T $ の固有値の動的挙動を分析し、一般の $ u,v $ に対して、複素平面上の固有値曲線は $ A $ の固有値を除いては交差しないことを示している。主な結果は、$ \sigma(A) $ の外側で重複固有値（すなわち曲線の交差）が生じるのは測度ゼロの集合でのみであり、これは乱数的な $ u,v $ を用いたシミュレーションで交差が観察されない現象を説明している。

ABSTRACT

Let $A$ be a fixed complex matrix and let $u,v$ be two vectors. The eigenvalues of matrices $A+τuv^ op $ $(τ\in\mathbb{R})$ form a system of intersecting curves. The dependence of the intersections on the vectors $u,v$ is studied.

研究の動機と目的

• 実数 $ \tau \in \mathbb{R} $ に対する $ \sigma(A + \tau uv^T) $ の固有値曲線の一般的挙動を理解すること。特に、数値的シミュレーションで $ \sigma(A) $ の外側に交差が観察されない理由を解明すること。
• 実数 $ \tau $ に対して $ A + \tau uv^T $ が $ \sigma(A) $ の外に重複固有値を持つような $ (u,v) $ のペアを特定すること。
• $ A $ に対して一般の $ u,v $ を用いた場合、このような重複固有値は稀（測度ゼロ）であることを確立し、シミュレーションで観察される交差の不在を説明すること。
• 摂動の大きさに制限を設けず、代数幾何学および結果式理論を用いて、固有値曲線のグローバルな挙動を分析すること。
• 複素数 $ \tau $ に対する $ A + \tau uv^T $ のスペクトル構造を完全に記述し、最終的に実数 $ \tau $ の場合に到達する結果を得ること。

提案手法

• 論文は、共通の根（重複固有値に対応）を検出するための多項式の結果式を用い、$ A + \tau uv^T $ の重複固有値の代数的特徴付けを可能としている。
• 多項式 $ f_{uv}(\lambda) $ は、行列 $ A $ の固有多項式 $ m(\lambda) $ と摂動項 $ p_{uv}(\lambda) = v^T(\lambda I - A)^{-1}u $ の組み合わせとして構成され、その零点は潜在的な重複固有値を示す。
• 多項式 $ f_{uv}(\lambda) $ の次数および先頭係数の分析により、一般の $ u,v $ に対して、$ f_{uv} $ は $ \sigma(A) $ の外に正確に $ k = \max\{(r-1)(l-1), r(l-2)\} $ 個の異なる零点を持つことが示されている。ここで $ r $ は $ A $ の異なる固有値の数、$ l $ は最大のジョルダンブロックのサイズを表す。
• 陰関数定理を用いて、$ \lambda_j(u,v) $ が $ \mathbb{C}^{2n} $ の稠密な開集合 $ V_0 \subset \mathbb{C}^{2n} $ 上で正則関数として扱えることが示され、滑らかな依存関係の解析が可能になる。
• $ A + \tau uv^T $ が実数 $ \tau $ に対して重複固有値を持つような $ (u,v) $ の集合 $ V $ が、測度ゼロの集合の有限個の和集合に含まれることを、正則関数の一意性原理を用いて示している。
• 比 $ v^T(\lambda_j - A)^{-1}u \in \mathbb{R} $ が非定数正則関数を定めることを証明し、$ \mathbb{R} $ への逆像が $ \mathbb{C}^{2n} $ においてLebesgue測度ゼロであることを確立している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数 $ \tau \in \mathbb{R} $ に対する固有値曲線 $ \sigma(A + \tau uv^T) $ の一般的挙動は何か。特に、交差の有無について。
• RQ2 $ (u,v) \in \mathbb{C}^{2n} $ のうち、$ A + \tau uv^T $ が $ \sigma(A) $ の外に重複固有値を持つのはどのような場合か。また、その発生頻度はどの程度か。
• RQ3 行列 $ A $ のジョルダン標準形の構造が、摂動系における潜在的重複固有値の数および位置にどのように影響するか。
• RQ4 $ A + \tau uv^T $ が実数 $ \tau $ に対して重複固有値を持つような $ (u,v) $ の集合を代数的および位相的に特徴付けられるか。
• RQ5 $ \mathbb{C}^{2n} $ 内で、このような $ (u,v) $ のペアの測度的稠度はどの程度か。また、これは数値実験で観察される交差の不在を説明できるか。

主な発見

• 一般の $ u,v \in \mathbb{C}^n $ に対して、すべての $ \tau \in \mathbb{R} \setminus \{0\} $ に対して $ \sigma(A) $ の外の固有値は単純である。これは、シミュレーションで曲線の交差が観察されないことを説明している。
• $ A + \tau uv^T $ が $ \sigma(A) $ の外に重複固有値を持つような $ (u,v) $ の集合 $ V \subset \mathbb{C}^{2n} $ は閉集合であり、内部が空であり、$ 4n $ 次元Lebesgue測度がゼロである。
• $ \sigma(A) $ の外側で重複固有値が生じるのは、$ v^T(\lambda_j - A)^{-1}u \in \mathbb{R} $ である場合に限られ、この関数は非定数かつ正則であるため、その実数への逆像は測度ゼロである。
• 潜在的重複固有値の位置の数は、$ k = \max\{(r-1)(l-1), r(l-2)\} $ で上限が与えられる。ここで $ r $ は $ A $ の異なる固有値の数、$ l $ は最大のジョルダンブロックのサイズを表す。
• 一般の $ u,v $ に対して、実数 $ \tau \in \mathbb{R} $ に対する固有値曲線 $ \sigma(A + \tau uv^T) $ は、$ \sigma(A) $ の点でのみ交差し、その交差は孤立している。
• 本分析により、ランク1摂動におけるジョルダン構造の保存に関するHörmander–Mellinの結果が、実数 $ \tau $ に対して一般に重複固有値が存在しないことと整合的であることが示された。