[論文レビュー] Eigenvalues of transformations arising from irrational rotations and step functions. (Valeurs propres de transformations liées aux rotations irrationnelles et aux fonctions en escalier)

Mélanie Guenais, François Parreau|arXiv (Cornell University)|May 10, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、トーラス上の無理数回転とステップ関数を含むコホモロジー方程式に対する可測解の存在について、必要十分条件を確立する。同定された固有値と固有関数はシリンダーフロー、特別なフラワーや三区間交換変換を特徴づけ、無限ランクのクロネッカー因子や回転またはオドメータへの非自明な共役性を持つ系の構成を可能にし、ディオファントス条件の下で滑らかな上側関数に対する正則化結果も得られる。

ABSTRACT

Given an irrational rotation $T$ on $\M T$ we settle necessary and sufficient conditions on a step function $ϕ$ and $t\in \M T$ for the existence of measurable solutions to the cohomogical equation $$\exp{(2iπϕ)}=\e{2iπt}f/f ond T.$$ This yields a characterization of eigenvalues and eigenfunctions for several transformations arising from irrational rotations and step functions: cylinder flows, special flows, induced maps... From there we give constructions of special flows and three-interval exchange transformations with unusual spectral properties. In both cases we exhibit examples with Kronecker factors of infinite rank. We also construct three-interval exchange transformations which are non-trivially conjugate to irrational rotations or to odometers. Similarly there exist special flows over irrational rotations which are non-trivially conjugate to translations flows on $\M T^2$ or on solenoids. Finally, we prove a regularization property which allows us to give similar examples of special flows with smooth ceiling functions, under natural Diophantine conditions for the rotation.

研究の動機と目的

• 無理数回転とステップ関数から生じる力学系の固有値および固有関数を特徴づける。
• 固有値が無限ランクのクロネッカー因子を生成する特別なフラワーや三区間交換変換を構成する。
• 特別なフラワーや3区間交換変換と無理数回転またはオドメータとの間の非自明な共役性を確立する。
• ディオファントス条件の下で滑らかな上側関数を持つ特別なフラワーモデルに対する正則化結果を提供する。

提案手法

• トーラス $\mathbb{T}$ 上の無理数回転 $T$ とステップ関数 $\phi$ に対して、方程式 $\exp(2i\pi\phi) = e^{2i\pi t} f / (f \circ T)$ のコホモロジー方程式を分析する。
• Ostrowski分解と連分数近似を用いて可測解を特徴づける。
• 連分数の収束項 $q_n$ でインデックス付けられた基本領域に基づくアプローチを適用する。
• $\|\beta q_n\|$ の制御と転送関数の収束を保証するために、ディオファントス近似条件を用いる。
• 反復近似による固有関数の構成を行い、可測性および almost everywhere での非ゼロ性を証明する。
• 正則化技術を用いて、ディオファントス条件の下で、コホモロジカルに同値なステップ関数が $C^r$ または解析的関数に共役可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステップ関数 $\phi$ とパrameter $t$ がどのような条件下で、方程式 $\exp(2i\pi\phi) = e^{2i\pi t} f / (f \circ T)$ が可測解 $f$ を持つか？
• RQ2 どのような特別なフラワーや三区間交換変換が、無限ランクのクロネッカー因子を生成する固有値を持つのか？
• RQ3 どのような条件下で、特別なフラワーや3区間交換変換が、非自明に無理数回転またはオドメータに共役可能になるか？
• RQ4 どのようなディオファントス条件下で、ステップ関数が滑らかまたは解析的関数にコホモロジカルに同値にできるか？

主な発見

• コホモロジー方程式の可測解の存在に関する必要十分条件が、$\beta$ と $t$ のディオファントス近似性質に基づいて与えられる。
• 特別なフラワーや3区間交換変換は、無限ランクのクロネッカー因子を生成する固有値を持つように構成可能である。
• 無理数回転またはオドメータに非自明に共役可能な3区間交換変換が存在し、また、$\mathbb{T}^2$ やソリノイド上の移動フラワーに非自明に共役可能な特別なフラワーも存在する。
• 自然なディオファントス条件の下で、コホモロジー方程式内のステップ関数は $C^r$ または解析的関数に正則化可能であり、スペクトル性質は保存される。
• 固有関数の構成は、連分数収束項 $q_n$ における転送関数の強い収束に依存しており、$\|\beta q_n\|$ の制御が行われる。
• 本稿は、純粋離散スペクトルを持つ系の明示的構成と、非自明なスペクトル的共役性を提供し、既知のスペクトル剛性に関する結果を拡張する。