[論文レビュー] Eigenvalues, Smith normal form and determinantal ideals

Aida Abiad, Carlos A. Alfaro+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2019

Graph theory and applications参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフに付随する整数行列の固有値、スミス標準形（SNF）、および行列式イデアルの間の新しい関係を確立する。固有値がk番目の単変数整数行列式イデアルの代数的集合に属するならば、その固有値はSNFのk番目の不変因子を割り切ることを証明し、Rushananの結果を一般化する。主な貢献は、同じ単変数行列式イデアルを持つグラフ（codeterminantalグラフ）の特徴付けであり、これにより、共スペクトル的および共不変因子的グラフの概念を統一的に拡張する枠組みを提供する。完全グラフおよびスターバリエーショングラフは、それらの距離ラプラシアン行列のSNFによって一意に特定可能である。

ABSTRACT

Determinantal ideals of graphs generalize, among others, the spectrum and the Smith normal form (SNF) of integer matrices associated to graphs. In this work we investigate the relationship of the spectrum and the SNF with the determinantal ideals. We show that an eigenvalue divides the $k$-th invariant factor of its SNF if the eigenvalue belongs to a variety of the $k$-th univariate integer determinantal ideal of the matrix. This result has as a corollary a theorem of Rushanan. We also study graphs having the same determinantal ideals with at most one indeterminate; the socalled codeterminantal graphs, which generalize the concepts of cospectral and coinvariant graphs. We establish a necessary and sufficient condition for graphs to be codeterminantal on $\mathbb{R}[x]$, and we present some computational results on codeterminantal graphs up to 9 vertices. Finally, we show that complete graphs and star graphs are determined by the SNF of its distance Laplacian matrix.

研究の動機と目的

• グラフに付随する整数行列の固有値、スミス標準形（SNF）、および行列式イデアルの関係を調査すること。
• 共スペクトル的および共不変因子的グラフの概念を一般化するために、同じ単変数行列式イデアルを持つグラフ（codeterminantalグラフ）を導入すること。
• ℝ[x]上でのグラフがcodeterminantalであるための必要十分条件を提示し、そのようなグラフが同時に共スペクトル的または共不変因子的である条件を特徴付けること。
• 特にℤ[x]上での単変数イデアルを含む、さまざまな行列式イデアルの非同型グラフ同定における区別力（distinguishing power）を評価し、9頂点以下のグラフに対して評価すること。
• 完全グラフおよびスターバリエーショングラフが、それらの距離ラプラシアン行列のSNFによって一意に特定可能であることを証明すること。

提案手法

• 本稿は、グラフGに付随する整数行列M(G)のxI − M(G)のk小行列式によって生成されるℤ[x]上の単変数行列式イデアルを用いる。
• 代数幾何学およびグレブナー基底理論を適用して、特にℤ[x]およびℝ[x]におけるこれらのイデアルの構造を分析し、その代数的集合と固有値との関係を研究する。
• 計算的列挙を用いて、9頂点以下のすべての連結グラフを対象に、SNF、スペクトル、行列式イデアルを計算し、区別力の比較を行う。
• もしグラフがそのスペクトルによって一意に特定されるならば、そのグラフはℤ[x]上の単変数行列式イデアルによっても一意に特定されることを証明する。これは、Inℤ(Mx)がdet(Mx)によって生成されることを利用している。
• 距離ラプラシアン行列のスミス標準形を用いて、完全グラフおよびスターバリエーショングラフを特徴付ける。それらのSNFが一意にそれらを特定できることを示す。
• 行列式イデアルおよび不変因子の理論を含む可換代数の結果を応用し、固有値と不変因子の間の整除関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列の固有値が、そのスミス標準形のk番目の不変因子を割り切るための条件は何か？
• RQ2 ℝ[x]上での2つのグラフがcodeterminantalであるための必要十分条件は何か？
• RQ3 codeterminantalグラフは、共スペクトル的および共不変因子的グラフとどのように関係するか？
• RQ4 どの行列式イデアルが、特に小さなグラフにおいて非同型グラフを区別するのに最も効果的か？
• RQ5 完全グラフおよびスターバリエーショングラフは、それらの距離ラプラシアン行列のSNFによって一意に特定可能か？

主な発見

• 固有値がk番目の単変数整数行列式イデアルの代数的集合に属するならば、その固有値はSNFのk番目の不変因子を割り切る。これはRushananの定理を一般化する。
• ℝ[x]上でのcodeterminantalグラフは、その単変数行列式イデアルの構造に基づく必要十分条件によって特徴付けられる。
• ℤ[x]上での単変数行列式イデアルが、スペクトル情報とSNF情報を統合するため、グラフの区別に最も効果的である。
• 検討された行列（隣接行列、ラプラシアン行列、距離行列、距離ラプラシアン行列）の中で、距離ラプラシアン行列のSNFが9頂点以下のグラフの区別において最も優れた性能を示す。
• 完全グラフおよびスターバリエーショングラフは、ℤ[n,m]における2小行列式イデアルのグレブナー基底を分析することで、距離ラプラシアン行列のSNFによって一意に特定可能であることが示された。
• もしグラフがそのスペクトルによって一意に特定されるならば、そのグラフはℤ[x]上の単変数行列式イデアルによっても一意に特定可能である。なぜなら、最後のイデアルが行列式det(Mx)によって生成されるからである。