[論文レビュー] Eigenvarieties for classical groups and complex conjugations in Galois representations

Olivier Taïbi|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、全実体上の GL_{2n+1} 及び GL_{2n} における正則的・代数的・本質的に自己双対的・尖型の自動形式表現に付随する p-進ガロア表現における複素共役の像に関するリチャード・テイラーの定理において、不可約性仮定を除去する。シンプレクティック群および偶数次正規直交群の固有多様体における p-進変形理論とアーチャーの端末的分類を用い、このような表現に対して、ガロア表現における複素共役のトレースが |Tr(ρ(c))| ≤ 1 を満たし、等号成立は特定の状況に限ることを証明する。これは、既知の結果を不可約でない表現へと拡張するものである。

ABSTRACT

The goal of this paper is to remove the irreducibility hypothesis in a theorem of Richard Taylor describing the image of complex conjugations by $p$-adic Galois representations associated with regular, algebraic, essentially self-dual, cuspidal automorphic representations of $\\GL_{2n+1}$ over a totally real number field $F$. We also extend it to the case of representations of $\\GL_{2n}/F$ whose multiplicative character is "odd". We use a $p$-adic deformation argument, more precisely we prove that on the eigenvarieties for symplectic and even orthogonal groups, there are "many" points corresponding to (quasi-)irreducible Galois representations. The recent work of James Arthur describing the automorphic spectrum for these groups is used to define these Galois representations, and also to transfer self-dual automorphic representations of the general linear group to these classical groups.

研究の動機と目的

• 全実体上の GL_{2n+1} における正則的・代数的・本質的に自己双対的・尖型の自動形式表現に付随する p-進ガロア表現における複素共役の像に関するテイラーの定理において、不可約性仮定を除去すること。
• GL_{2n}/F における「奇数」乗法的特徴に付随する表現に対しても、同様の結果を不可約でない場合にも拡張すること。
• シンプレクティック群および偶数次正規直交群の固有多様体において、p-進変形技法を用いて (準) 不可約ガロア表現に対応する「多数の」点が存在することを示すこと。
• 古典群の自動形式スペクトルに関するアーチャーの最近の研究を用いて、GL_N からシンプレクティック群および偶数次正規直交群へのガロア表現の定義と転送を行うこと。

提案手法

• p-進自動形式およびアトキン＝レーナー代数を用いて、定値シンプレクティック群および偶数次正規直交群の固有多様体を構成する。
• スロープが小さい p-進固有形式は古典的であり、固有多様体の大部分の点は非分岐かつ完全に微調整可能な表現から生じることを証明する。
• アーチャーによる離散スペクトルの記述を用いて、固有多様体上にガロア表現を定義する。特に、GL_{2n+1} 及び GL_{2n} の自己双対的表現に対して有効である。
• 固有多様体上にガロア擬スカラーを定義し、関連するガロア表現が一般にほとんど不可約であることを示す。
• p-進変形論的議論を適用し、クリスタル表現が固有多様体上で連続的に変化することを示し、複素共役の像を制御可能にする。
• 基本拡大および誘導を用いて、Iwahori不変量を持つ場合に還元し、Langlandsパラメータによる既知のトレースの上限に関する結果を適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テイラーの定理における p-進ガロア表現における複素共役のトレースに関する不可約性仮定は、どのようにして除去可能か？
• RQ2 表現が一般に不可約でない場合に、全実体 F 上の GL_{2n}/F における正則的・代数的・本質的に自己双対的・尖型の自動形式表現に付随するガロア表現における複素共役の像はどのようなものか？
• RQ3 古典群の固有多様体は、ガロア表現の変動および複素共役によるトレースの変動をどのように研究できるか？
• RQ4 アーチャーの端末的分類は、GL_N からシンプレクティック群および偶数次正規直交群へのガロア表現をどの程度まで転送可能か？
• RQ5 このようなガロア表現における複素共役のトレースが |Tr(ρ(c))| ≤ 1 を満たすための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、全実体 F 上の GL_{2n+1}/F における正則的・代数的・本質的に自己双対的・尖型の表現に対して、関連する p-進ガロア表現における複素共役のトレースが |Tr(ρ(c))| ≤ 1 を満たすことを証明しており、不可約性仮定を課さないでも成り立つ。
• GL_{2n}/F において「奇数」乗法的特徴を持つ場合、適切な正則性および自己双対性条件のもとで、同様の不等式 |Tr(ρ(c))| ≤ 1 が成り立つ。
• GL_{2n}/F において η_∞(−1) = 1 かつ Langlands パラメータが ∑ Ind_{W_R}^{W_C}(z ↦ (z/̄z)^{r_i}) の形である場合、複素共役のトレースは正確に 0 である。
• シンプレクティック群および偶数次正規直交群の固有多様体には、p-進変形技法を用いて (準) 不可約ガロア表現に対応する「多数の」点が存在することが示された。
• これらの固有多様体上の自動形式に付随するガロア表現は一般にほとんど不可約であり、そのクリスタルフロベニウスは連続的に変化するため、トレースの制御が可能である。
• 基底拡大を用いて正則でない場合に対しても結果を拡張し、基底拡大により表現が Iwahori 不変量を備えるようにすることで、主定理の適用が可能になる。