[論文レビュー] Eigenvarieties for non-cuspidal modular forms over certain PEL Shimura varieties

Riccardo Brasca, Giovanni Rosso|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、PEL型 Shimura 多様体上の非正則 $p$-進モジュラー形式に対して、正則性の度合いのフィルトレーションを導入することにより、非正則族へのBuzzardの固有多様体の機械の適用を可能にする固有多様体の構成を行う。主な結果として、弱い仮定の下でUrbanの$ GSp_4$固有多様体の成分次元に関する予想を証明し、従来の正則形式に限られていた研究をEisenstein級数および非通常族へと拡張する。

ABSTRACT

Generalising the recent method of Andreatta, Iovita, and Pilloni for cuspidal forms, we construct an eigenvariety for symplectic and unitary groups that parametrises systems of eigenvalues of overconvergent and locally analytic $p$-adic automorphic forms. This is achieved by gluing some intermediates eigenvarieties of a fixed 'degree of cuspidality'. The dimension of these eigenvarieties is explicit and depends on the degree of cuspidality, it is maximal for cuspidal forms and it is $1$ for forms that are 'not cuspidal at all'. Under mild assumption, we are able to prove a conjecture of Urban about the dimension of the irreducible components of Hansen's eigenvariety in the case of the group $\\mathrm{GSp}_4$ over $\\mathbb{Q}$.

研究の動機と目的

• PEL型 Shimura 多様体上の非正則 $p$-進モジュラー形式への固有多様体の構成を、正則形式に限らない形で拡張すること。
• 非正則形式の空間の非射影性というBuzzardの固有多様体の機械における技術的障壁を、正則性の度合いごとに形式をフィルターで分離することで克服すること。
• 各正則性度合いごとに中間的固有多様体を構成し、それらを貼り合わせることで非正則族のための一貫性があり射影的な枠組みを実現すること。
• 特にEisenstein級数に対して、$ GSp_4$ のHansenの固有多様体の既約成分の次元に関するUrbanの予想を、$ Q$ 上で証明すること。
• Hida型通常族とKisin–Lai型Eisenstein族を、一つの一貫性のあるコhomological枠組みに統合すること。

提案手法

• $p$-進モジュラー形式に正則性の度合いのフィルトレーションを導入し、弱い仮定の下でその各部分空間が重み空間上で射影的になるように分離する。
• Buzzardの抽象的機械を用いて、各固定された正則性度合いに対して中間的固有多様体を構成する。これは形式の空間の射影性を要件としている。
• Shimura多様体の剛体解析的ファイバー上の層 $ω_{v,w}^{\dagger\chi_{\mathcal{U}}^{\text{un}}}$ を用いて、収束する形式および局所有限形式を重み全体にわたって補間する。
• Hecke代数作用、特に完全連続な $ U_p$-作用素を用いて、固有多様体パrameter空間全体にわたる固有形式を定義する。
• 異なる正則性度合い間での固有値の整合性を用いて中間的固有多様体を貼り合わせ、次元の一様性を保つ。
• Eichler–Shimura同型およびトロイダルコンパクト化の境界におけるスペクトル系列を用いたコhomological技法により、Eisenstein級数のコホモロジーを解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な射影性条件が成立しない状況において、PEL型 Shimura 多様体上の非正則 $p$-進モジュラー形式の固有多様体を構成することは可能か？
• RQ2 非正則形式、特にEisenstein級数をパラメータ化する固有多様体の成分の次元は何か？また、これは重み空間とどのように関係するか？
• RQ3 非通常的で非正則な族に対して、$ GSp_4$ 固有多様体の既約成分の次元に関するUrbanの予想は成立するか？
• RQ4 形式の空間が射影的でない場合、Buzzardの固有多様体構成はどのように修正可能か？
• RQ5 Eisenstein級数のコホモロジー的構造は、固有多様体の分類および成分次元の予測にどの程度まで利用可能か？

主な発見

• 非正則形式の固有多様体は、正則性の度合いごとにフィルターをかけ、各フィルター部分空間が射影的であることから、Buzzardの機械の適用が可能になる。
• 各中間的固有多様体の次元は正則性の度合いに依存する：正則形式では最大で、まったく正則でない形式では正確に1となる。
• 弱い仮定の下で、$ GSp_4$ 固有多様体の既約成分の次元に関するUrbanの予想が証明され、古典的Eisenstein級数に対して、次元が重み空間全体の次元と一致することが確認された。
• KlingenまたはSiegelのEisenstein級数（重み$(3,3)$を除く）に対応する古典的点に対して、固有多様体の既約成分$ I$の次元は2であり、Urbanの予想と整合的である。
• スペクトル系列による境界コホモロジーの分類により、Eisenstein系の固有値が連続するコホモロジー次元（例：2と3）に現れることが確認され、次元予想を支持する。
• 本構成により、従来正則形式に限られていたHida型通常族とKisin–Lai型Eisenstein族が、一つの一貫性のある枠組みに統合され、正則形式に限らない結果が拡張された。