[論文レビュー] Eigenvectors in the Superintegrable Model

Helen Au-Yang, Jacques H. H. Perk|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2007

Molecular spectroscopy and chirality被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、超可積分的キラルポッツ模型の転送行列の固有ベクトルを、キラルポッツ転送行列と可換であるτ2(t)模型を分析することによって調査する。Q = 0 セクターにおける固有空間の degeneracy が 2^r であることを示し、r = (N−1)L/N（L が N の倍数のとき）となる。新規のキラルポッツ作用素からループ代数 L(sl2) の生成子を構成し、ドリンフェルド多項式の根を用いて、sl2 の r 個の直和として明示的な実現が得られる。

ABSTRACT

Abstract. In order to calculate correlation functions of the chiral Potts model, one only needs to study the eigenvectors of the superintegrable model. Here we start this study by looking for eigenvectors of the transfer matrix of the periodic τ2(t) model which commutes with the chiral Potts transfer matrix. We show that the degeneracy of the eigenspace of τ2(t) in the Q = 0 sector is 2 r, with r = (N−1)L/N when the size of the transfer matrix L is a multiple of N. We introduce chiral Potts model operators, different from the more commonly used generators of quantum group Ũq ( ̂ sl2). From these we can form the generators of a loop algebra L(sl2). For this algebra, we then use the roots of the Drinfeld polynomial to give new explicit expressions for the generators representing the loop algebra as the direct sum of r copies of the simple algebra sl2. PACS numbers: 05.50.+q, 64.60.De, 75.10.Hk, 75.10.Jm, 02.20.Uw The integrable chiral Potts model is an N-state spin model on a planar lattice, whose Boltzmann weights require high-genus algebraic functions for their parameterization [1, 2, 3, 4, 5]. Nevertheless much progress has been made. The model has very special properties which made it possible for Baxter to calculate the free energy

研究の動機と目的

• 超可積分的キラルポッツ模型の固有ベクトルの構造を理解すること。これは相関関数の計算に不可欠である。
• Q = 0 セクターにおけるτ2(t) 転送行列の固有空間のデジェネラシーを分析すること。
• 標準的な量子群生成子とは異なる、キラルポッツ模型固有の新規作用素を導入すること。
• これらの新規作用素を用いてループ代数 L(sl2) を構成し、sl2 の r 個の直和と関連付けること。
• ドリンフェルド多項式の根を用いて、ループ代数生成子の明示的表現を提供すること。

提案手法

• キラルポッツ転送行列と可換であるτ2(t)模型に注目し、共通の固有ベクトルの研究を可能にする。
• Q = 0 セクターにおける固有空間のデジェネラシーが 2^r であることを特定し、L が N の倍数のとき r = (N−1)L/N となる。
• 標準的な Ũq(ŝl2) 生成子とは異なる、新規のキラルポッツ模型作用素を定義し、別個の代数的構造を形成する。
• これらの作用素を用いてループ代数 L(sl2) を生成し、代数の新しい実現を提供する。
• ドリンフェルド多項式の根を用いて、ループ代数を sl2 の r 個の直和に分解する。
• この分解に基づき、ループ代数生成子の明示的行列表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超可積分的キラルポッツ模型において、τ2(t) 転送行列の Q = 0 セクターにおける固有空間のデジェネラシーは何か？
• RQ2 標準的な量子群生成子とは異なる、キラルポッツ模型固有の新規作用素はどのように構成できるか？
• RQ3 これらの新規キラルポッツ作用素を用いて、ループ代数 L(sl2) を明示的に実現できるか？
• RQ4 ドリンフェルド多項式の根は、ループ代数生成子を sl2 の r 個の直和として表現するためにどのように寄与するか？
• RQ5 Q = 0 セクターにおける固有ベクトルの代数的構造は何か？また、キラルポッツ模型の可積分性とどのように関連するか？

主な発見

• τ2(t) 転送行列の Q = 0 セクターにおける固有空間のデジェネラシーは、L が N の倍数のとき正確に 2^r であり、r = (N−1)L/N である。
• 標準的な量子群 Ũq(ŝl2) 生成子とは異なる、新規のキラルポッツ模型作用素が導入された。
• これらの新規作用素はループ代数 L(sl2) を生成し、モデルのための代替的な代数的枠組みを提供する。
• ドリンフェルド多項式の根を用いて、ループ代数 L(sl2) が sl2 の r 個の直和として明示的に実現された。
• この分解に基づき、ループ代数生成子が閉形式で表現され、明示的な計算が可能となった。
• この構成により、固有ベクトルの分析を通じてキラルポッツ模型における相関関数を研究するための新しい代数的アプローチが得られた。