[論文レビュー] Eight lectures on Oka manifolds

Finnur Lárusson|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素多様体のクラスであるOka多様体について、滑らかで、シュタイン多様体からそれらへの正則写像が強い拡張および近似性質を満たすという意味で「柔軟性」を持つものとして、入門的な解説を提供する。Oka多様体がシュタイン多様体と双対的であることを確立し、特に最小Enoki多様体がOkaであるが、それらの特異化（Inoue-Hirzebruch多様体）はそうではないことを示し、Oka性質がコンパクト複素多様体の族において閉じていないことを示している。

ABSTRACT

Over the past decade, the class of Oka manifolds has emerged from Gromov's seminal work on the Oka principle. Roughly speaking, Oka manifolds are complex manifolds that are the target of "many" holomorphic maps from affine spaces. They are "dual" to Stein manifolds and "opposite" to Kobayashi-hyperbolic manifolds. The prototypical examples are complex homogeneous spaces, but there are many other examples: there are many ways to construct new Oka manifolds from old. The class of Oka manifolds has good formal properties, partly explained by a close connection with abstract homotopy theory. These notes were prepared for lectures given at the Institute of Mathematics of the Chinese Academy of Sciences in Beijing in May 2014. They are meant to give an accessible introduction, not to all of Oka theory, but more specifically to Oka manifolds, how they arise and what we know about them.

研究の動機と目的

• 分野に馴染みのない研究者を対象に、Oka多様体について自己完結的でアクセスしやすい入門を提供すること。
• 複素幾何学におけるOka多様体とシュタイン多様体の間の双対性を明確にすること。
• Okaクラスの変形および特異化における安定性および閉包性の性質を調査すること。
• 明示的な例を用いて、Oka性質がコンパクト複素多様体の族において保存されないことを示すこと。
• 被覆空間および支配性の性質を通じて、Oka理論をホモトピー論およびシュバルツ関数論と結びつけること。

提案手法

• グロモフの線形化法および楕円性の概念を用いて、Oka多様体を定義・特徴づける。
• 正則分割関数と滑らかから正則へのコycle分割を用いて、ホモトピー上昇性質を適用する。
• シュタイン多様体および連続写像の理論を用いて、連続写像と正則写像の間のホモトピーを構成する。
• Brody再パラメトライゼーション補題およびその高次元への一般化の限界を用いて、双曲性および反双曲性を分析する。
• ブローアップおよび境界の同定を用いて、明示的なコンパクト複素曲面の族を構成し、Kato多様体を得る。
• グローバル球殻予想およびクラスVII多様体の分類を適用して、Okaおよび非Okaの例を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のシュタイン多様体から複素多様体への連続写像が正則写像にホモトープにできる条件は何か？
• RQ2 どのコンパクト複素曲面がOkaであり、変形においてどのように振る舞うか？
• RQ3 Oka性質はコンパクト複素多様体の族における変形で保存されるか？
• RQ4 シュバルツ関数は、多様体がOkaであるかどうかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 支配性、C連結性、強力なリウヴィル性という概念は、Oka性質とどのように関係しているか？

主な発見

• 任意のシュタイン多様体から $\mathbb{C}^*$ への連続写像は、正則写像にホモトープである。これは、この被覆先における柔軟性を示している。
• シュタイン多様体からOka多様体への正則写像の空間は、コンパクト開位相において連続写像の空間において稠密である。
• 最小Enoki多様体はOkaである。なぜなら、それらの普遍被覆がシュタインであり、$\mathbb{C}^n$ からの正則支配をもつからである。
• Inoue-Hirzebruch多様体はOkaではない。なぜなら、それらの普遍被覆に非定数の負のシュバルツ関数をもつからである。
• Dlousskyの多様体族は、Oka性質が族において閉じていないことを示している：一般ファイバーはOka（Enoki）であるが、中心ファイバーはそうではない（Inoue-Hirzebruch）。
• Brody再パラメトライゼーション補題は高次元に一般化できない。これは、双曲性に基づく開性の議論がOka型性質には通用しないことを示唆している。