[論文レビュー] Eignets for function approximation on manifolds

H. N. Mhaskar|ArXiv.org|Sep 28, 2009

Numerical methods in inverse problems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなリーマン多様体上での関数近似のためのeignets—核に基づく近似ネットワーク—を導入する。決定的で普遍的なアルゴリズムを用いて、Lp(µ; X) 内の関数を最適に近似するeignetsを構築する。主な貢献は、最小中心間隔を複雑さの尺度として用いた近似誤差の最適な滑らかさモジュラスの推定を確立することであり、逆定理により、係数および微分の安定性と最適性を証明する。

ABSTRACT

Let $\XX$ be a compact, smooth, connected, Riemannian manifold without boundary, $G:\XX imes\XX o \RR$ be a kernel. Analogous to a radial basis function network, an eignet is an expression of the form $\sum_{j=1}^M a_jG(\circ,y_j)$, where $a_j\in\RR$, $y_j\in\XX$, $1\le j\le M$. We describe a deterministic, universal algorithm for constructing an eignet for approximating functions in $L^p(μ;\XX)$ for a general class of measures $μ$ and kernels $G$. Our algorithm yields linear operators. Using the minimal separation amongst the centers $y_j$ as the cost of approximation, we give modulus of smoothness estimates for the degree of approximation by our eignets, and show by means of a converse theorem that these are the best possible for every \emph{individual function}. We also give estimates on the coefficients $a_j$ in terms of the norm of the eignet. Finally, we demonstrate that if any sequence of eignets satisfies the optimal estimates for the degree of approximation of a smooth function, measured in terms of the minimal separation, then the derivatives of the eignets also approximate the corresponding derivatives of the target function in an optimal manner.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上での Lp(µ; X) 内の関数を近似する決定的で普遍的なアルゴリズムを用いてeignetsを構築すること。
• 最小中心間隔を複雑さの尺度として用いた近似の程度に関する最適な滑らかさモジュラスの推定を確立すること。
• 個々の関数に対してこれらの推定が最適であることを示す逆定理を証明すること。
• eignet の Lp ノルムを用いて係数 aj の安定性推定を導出すること。
• 滑らかな関数をeignetsで最適に近似できることから、その微分の近似も最適に近似されることを示すこと。

提案手法

• L2(µ; X) の正規直交基底 {φj} とラプラシアン＝ベルトラミ作用素の固有値 ℓj を用いて、G(x, y) = ∑j≥0 b(ℓj)φj(x)φj(y) という核を定義する。
• 中心 yj ∈ X と係数 aj ∈ ℝ を用いて、PMj=1 ajG(⋅, yj) としてeignetsを線形結合として構築する。
• 拡散多項式 ΠL = span{φj : ℓj ≤ L} を用いたマルチスケール解析を実施し、リトルウッド＝ペイリー型分解を活用する。
• 誤差の制御と安定性の導出に、タイトフレーム変換と演算子 Φ2m(hb2m; ⋅, y) を用いる。
• 熱核の近似とその性質を用いて核構造を定義し、収束速度を導出する。
• 近似誤差と係数の安定性をバウンドするために、離散的最大関数推定とノルム不等式（例：(6.13)）を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的で普遍的なアルゴリズムは、コンパクトなリーマン多様体上での Lp(µ; X) 内の関数に対して、最適な近似レートを達成するeignetsを構築できるか？
• RQ2 近似誤差が中心 yj 間の最小間隔に依存する最適な依存関係は何か？
• RQ3 滑らかな関数を最適に近似するeignetsは、その微分の近似も最適に近似するか？
• RQ4 係数 aj は、eignet の Lp ノルムを用いてバウンド可能で、安定性が保証されるか？
• RQ5 導出された近似推定が、逆定理によって確認されるように鋭いか？

主な発見

• アルゴリズムは、誤差が c2−m(β−α/p′)qα/p′−β∥Ψ∥p でバウンドされる最適な近似レートを達成する。ここで q は最小中心間隔に関連する。
• 逆定理により、導出された誤差バウンドが個々の関数に対して最適であることが確認される。
• 安定性推定により、∥(∆∗)rΨ∥p ≤ c2mr∥Ψ∥p が成り立ち、2m ∼1/q であるため、係数の制御が保証される。
• 微分の近似は最適である：eignets が関数 f を最適に近似するならば、eignets の微分は f の微分を同じ最適レートで収束させる。
• 構成により、δ(˜Cm) ∼1/m かつ δ(˜Cm) ≤2δ(˜Cm) が成り立ち、˜Cm はネストされており、分離条件を満たす。
• p = ∞ の場合、推定 ∥(∆∗)γσm(f) −(∆∗)γΨm∥p ≤ cmγ−r∥(∆∗)rf∥p が成り立ち、微分ノルムにおける収束が確認される。