[論文レビュー] Eikonal Approximation in AdS/CFT: Resumming the Gravitational Loop Expansion

Lorenzo Cornalba, Miguel S. Costa+1 more|CERN Bulletin|Jul 1, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、反ド・ジッター（AdS）時空における高エネルギー散乱のためのアイケノナル近似を展開し、重力結合定数のすべての位数にわたるラダーダイアグラムおよびクロスラダーダイアグラムを再帰的にまとめることで、平坦空間のアイケノナル手法を一般化する。主な結果は、重力粒子交換によって支配される位相シフトであり、これは強い't Hooft結合定数および大きな$N$における双曲的トレースの一次元的オペレーターの異常次元を計算する。この結果は$1/N$展開で有効である。

ABSTRACT

We derive an eikonal approximation to high energy interactions in Anti-de Sitter spacetime, by generalizing a position space derivation of the eikonal amplitude in flat space. We are able to resum, in terms of a generalized phase shift, ladder and cross ladder graphs associated to the exchange of a spin j field, to all orders in the coupling constant. Using the AdS/CFT correspondence, the resulting amplitude determines the behavior of the dual conformal field theory four point function < O_1 O_2 O_1 O_2 > for small values of the cross ratios, in a Lorentzian regime. Finally we show that the phase shift is dominated by graviton exchange and computes, in the dual CFT, the anomalous dimension of the double trace primary operators O_1 \partial ... \partial O_2 of large dimension and spin, corresponding to the relative motion of the two interacting particles. The results are valid at strong t'Hooft coupling and are exact in the 1/N expansion.

研究の動機と目的

• 平坦空間から反ド・ジッター（AdS）時空へのアイケノナル手法の拡張を、高エネルギー$2\to2$散乱に対して行う。
• AdSにおけるラダーダイアグラムおよびクロスラダーダイアグラムのすべての位数の寄与を再帰的にまとめる。これはスピン$j$の場の交換に対応する。
• 得られたアイケノナル位相シフトが、ローレンツ的領域におけるCFT四点関数の振る舞いとどのように関係するかを明らかにする。
• 大スピンおよび大次元の極限における二重トレース一次元的オペレーター$\mathcal{O}_1 \partial\cdots\partial \mathcal{O}_2$の異常次元を計算する。
• AdSにおける重力的散乱と双対CFT相関関数の共形部分波展開との間の対応関係を確立する。

提案手法

• フェルミオン則則を用いて位置空間におけるアイケノナル振幅を導出し、平坦空間のアイケノナル公式をAdSに一般化する。
• 高エネルギー散乱を、全エネルギー$E$および角運動量$J$を持つ二粒子がAdS内で光的測地線をたどるモデルとして扱い、最小衝突パラメータ$r$に到達する。
• 光的測地線間の相互作用積分$I = (-ig)^2 \int d\lambda d\bar{\lambda} \, \Pi^{(j)}(\mathbf{x}(\lambda), \mathbf{\bar{x}}(\bar{\lambda}))$を用いて位相シフト$\Gamma(E,J)$を計算する。
• AdS/CFT双対性を用いて、重力的アイケノナル振幅をローレンツ的四点関数$\hat{A}(\mathbf{p}_1, \dots, \mathbf{p}_4) = \langle \mathcal{O}_1 \mathcal{O}_2 \mathcal{O}_1 \mathcal{O}_2 \rangle$に結びつける。
• ユークリッド相関関数からの解析接続を用いて、アイケノナル位相を双対CFTにおける二重トレースオペレーターの異常次元$2\Gamma(E,J)$にマッピングする。
• 影響パラメータ空間$H_{d-1}$におけるスピン$j$の伝播関数の微分方程式を解き、$E,J$が非常に大きい極限において位相シフトが重力粒子交換（$j=2$）によって支配されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦空間から反ド・ジッター時空へのアイケノナル近似を一般化し、重力的ループ図を再帰的にまとめるにはどうすればよいか？
• RQ2 スピン$j$の場の交換に対するAdSにおけるアイケノナル位相シフトの形は何か？また、エネルギー$E$および角運動量$J$にどのように依存するか？
• RQ3 AdSにおけるアイケノナル振幅は、双対CFTにおける一次元的オペレーターの四点関数、特にローレンツ的領域においてどのように関係するか？
• RQ4 アイケノナル法を用いて、大スピンおよび大次元の極限における二重トレース一次元的オペレーター$\mathcal{O}_1 \partial\cdots\partial \mathcal{O}_2$の異常次元は何か？
• RQ5 アイケノナル近似は$1/N$展開において非摂動的効果をどの程度捉えられるか？また、その限界は何か？

主な発見

• 極限$E \sim J \to \infty$において、AdSにおけるアイケノナル位相シフトは$2\Gamma(E,J) \simeq -\frac{g^2}{2\pi} (E^2 - J^2)^{j-1} \Pi_\perp(r)$で与えられ、$r$は最小測地線距離である。
• 位相シフトは重力粒子交換（$j=2$）によって支配され、$2\Gamma(E,J) \sim -\frac{g^2}{2\pi} (E^2 - J^2) \Pi_\perp(r)$となる。この式は二重トレースオペレーターの異常次元を支配する。
• アイケノナル振幅は、標準的なOPEでは到達できない、$\mathbf{p}_1 \sim \mathbf{p}_3$のローレンツ的領域におけるCFT四点関数$\hat{A}$の振る舞いを決定する。
• 二重トレース一次元的オペレーター$\mathcal{O}_1 \partial\cdots\partial \mathcal{O}_2$の異常次元$2\Gamma(E,J)$は、$1/N$展開および強い't Hooft結合定数において正確に計算される。
• 導出結果は、AdSにおけるアイケノナル近似が、$\mathbf{p}_1 \to \mathbf{p}_2$チャネルにおける双対CFT相関関数の共形部分波展開と整合していることを確認する。
• インスタントンなどの非摂動的効果（$e^{-\mathcal{O}(N/\lambda)}$に比例して抑制される）は捉えられていないため、有効性には$N \gg \lambda$が必要である。