[論文レビュー] Einstein-Cartan-Dirac Theory in (1+2)-Dimensions

Tekin Dereli, Neşe Özdemir+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2010

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、外微分形式を用いて(1+2)次元時空におけるアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論を定式化し、バリエーショナル原理を介してディラックスピン粒子を重力に結合する。場の運動方程式がスピン粒子場によって代数的に torsion が決定されることを示し、スピン粒子が存在しない場合にはアインシュタイン＝カルタン理論の解としてアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解が得られ、その解はアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてのブラックホールに類似した特徴を示し、r=0に曲率特異点が存在し、イベントホライズンによって覆われている。

ABSTRACT

Einstein-Cartan theory is formulated in (1+2)-dimensions using the algebra of exterior differential forms. A Dirac spinor is coupled to gravity and the field equations are obtained by a variational principle. The space-time torsion is found to be given algebraically in terms of the Dirac field. Circularly symmetric, exact solutions that collapse to AdS_3 geometry in the absence of a Dirac spinor are found.

研究の動機と目的

• (1+2)次元時空におけるディラックスピン粒子と結合されたアインシュタイン＝カルタン重力理論を微分形式形式を用いて定式化すること。
• バリエーショナル原理を用いて場の運動方程式を導出し、torsion をディラック場の2次不変量の代数的関係として表現すること。
• スピン粒子が存在しない場合にアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解が得られ、その解がアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてのブラックホールに類似した特徴を示すこと。
• これらの解の物理的性質、特に曲率特異点、イベントホライズン、保存量（質量、角運動量など）を特徴づけること。

提案手法

• 外微分形式に基づく形式的枠組みを用い、正規直交双対標高 {e^a}、接続1形式 ω^a_b、torsion T^a および曲率 R^a_b のカルタン構造方程式を用いる。
• 接続をリーマン接続（torsion 0）と曲率補正部 K^a_b に分解し、torsion がスピン粒子の流れに起因して T^a = K^a_b ∧ e^b と関係づけられる。
• アインシュタイン＝カルタン作用素を変分することで場の運動方程式を導出し、R_ab = κλ(e_a ∧ e_b) + κ*e_abc τ^c および T_a = (κ/2)*e_abc Σ^bc を得る。ここで τ_a および Σ_ab はそれぞれエネルギー運動量およびスピン角運動量の2形式である。
• メジャナーマトリクスとスピン接続 σ_ab を用いた共変微分を用いてディラックラグランジアンを構成し、ψ 及びその微分量を用いて τ_a および Σ_ab の表現を得る。
• スピン粒子場および計量に球対称かつ回転対称なアンサッツを仮定し、径方向座標 r における1階常微分方程式系に場の運動方程式を簡略化する。
• メトリック関数 f(r), h(r), a(r) およびスピン粒子成分 β(r), τ(r) に対して特定の関数形を仮定することで、メトリック、スピン粒子、保存量の閉形式表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラックスピン粒子の導入が、(1+2)次元アインシュタイン＝カルタン重力理論の幾何学的性質にどのように影響を与えるか、特に torsion と曲率の観点から。
• RQ2 (1+2)次元アインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論において、スピン粒子が存在しない場合にアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解が得られ、その解がアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてのブラックホールに類似した特徴を示すか。
• RQ3 その結果として得られる時空の物理的特徴、例えばイベントホライズン、曲率特異点、保存量の存在は何か。
• RQ4 解の局所的質量、エネルギー、角運動量は、漸近的および原点付近でどのように振る舞うか。

主な発見

• 時空の torsion はディラック場の2次不変量によって代数的に決定され、T_a = (κ/2)*e_abc Σ^bc と表され、スピンと時空幾何学の直接的な結合が示される。
• スピン粒子が存在しない場合にアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解が得られ、その解はアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてのブラックホールに類似した特徴を示し、β₀ = 0 のときにはアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてのブラックホールに類似した特徴を示し、既知のアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてのブラックホールに類似した特徴を示す。
• r = 0 に曲率特異点が存在し、β₀ の符号および大きさに依存して r_c > 0 にイベントホライズンが形成される。これはブラックホールに類似した振る舞いを示す。
• 局所的角運動量は定数で β₀ に等しく、局所的エネルギーは E(r) ≈ β₀ml / r と振る舞い、大規模な r に対しては局所的質量が 2mβ₀ に漸近的に近づく。
• メトリック関数 h(r) は r = r_c で有限かつ特異的でない振る舞いを示し、正則なホライズンの存在を確認する。曲率スカラー R = -6/l² + 4mβ₀/r² は、スピン粒子の存在により純粋なアインシュタイン＝カルタン＝ディラック理論の解としてのブラックホールに類似した特徴を示す。
• ディラックスピン粒子場は ψ_± = r^(-1) |r² - mβ₀l² + √(r⁴ - 2mβ₀l²r² - β₀²l⁴)|^(±ml/2) × exp(∓(1/(2β₀)) arcsin(...)) ξ_± として明示的に解かれ、非自明な径方向依存性およびスピン粒子構造を示す。