[論文レビュー] Einstein-Cartan Theory

Andrzej Trautman|ArXiv.org|Jun 14, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用数 44

ひとこと要約

アインシュタイン＝カルタン理論（ECT）は、物質の内在的スピンに起因する空間時間ねじれ（torsion）を組み込むことで一般相対性理論を拡張し、スピン接続の相互作用を幾何学的に記述可能にする。この理論は、高密度領域で収縮を防ぐ反発的スピンねじれ項を導入することで、宇宙論的モデルにおける特異性を解消し、将来の量子重力理論の古典的極限としての可能性を提供する。

ABSTRACT

The Einstein--Cartan Theory (ECT) of gravity is a modification of General Relativity Theory (GRT), allowing space-time to have torsion, in addition to curvature, and relating torsion to the density of intrinsic angular momentum. This modification was put forward in 1922 by Elie Cartan, before the discovery of spin. Cartan was influenced by the work of the Cosserat brothers (1909), who considered besides an (asymmetric) force stress tensor also a moments stress tensor in a suitably generalized continuous medium.

研究の動機と目的

• 内在的角運動量（スピン）によって駆動される幾何的性質としての空間時間ねじれを含めるように一般相対性理論を再定式化すること。
• ねじれを導入することにより、リーマン幾何学を超えた幾何的構造を一般化し、時空の対称性群としての完全なポアンカレ群を回復すること。
• スピンに起因する反発的ポテンシャルを導入することで、宇宙論的特異性の問題を解決し、初期特異性を防ぐこと。
• 将来の重力の量子理論の低エネルギー極限を、標準的一般相対性理論よりもよく近似できる古典的枠組みを提供すること。
• エネルギー運動量保存則と変分原理に整合する、スピンとねじれの幾何的基礎を確立すること。初期のエネルギー運動量発散に関する誤解を是正すること。

提案手法

• 接続が線形かつ計量適合であるが、必ずしも対称的でないため、ねじれを動的場として許容する計量アフィン幾何学の枠組みを採用すること。
• 微分形式とフレーム場を用いたカルタンの形式的記法により、計量 $ g $、接続 $ ilde{ abla} $、曲率 $ R $、ねじれ $ T $ を記述し、ねじれを $ T^{ u} = de^{ u} + ilde{ abla}e^{ u} $ として定義すること。
• アインシュタイン＝カルタン作用に変分原理を適用し、曲率とねじれがエネルギー運動量テンソルおよびスピンカレントテンソルと関係する場の運動方程式を導出すること。
• ねじれの源としてスピンテンソル $ S^{ ueta au} $ を導入し、場の運動方程式 $ T^{ u} = rac{1}{2} S^{ ueta au} heta_{eta} heta_{ au} $ を得ることで、ねじれと内在的角運動量を結びつけること。
• 空間の一様性と等方性（ロバートソン＝ウォーカー計量）を仮定して宇宙論的モデルに理論を適用し、ねじれをスピンを持つダスト流体によって駆動すること。
• 修正されたフリードマン方程式 $ \frac{1}{2}\dot{\mathcal{R}}^2 - M\mathcal{R}^{-1} + \frac{3}{2}S^2\mathcal{R}^{-4} = 0 $ を解き、$ \mathcal{R}^{-4} $ 項がスピンに起因し、$ \mathcal{R} \to 0 $ を防ぐこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内在的スピンによって駆動される幾何的性質としての空間時間ねじれを、相対論的重力理論に一貫して導入できるか？
• RQ2 ねじれの導入がアインシュタイン場の運動方程式および時空曲率の構造をどのように変更するか？
• RQ3 アインシュタイン＝カルタン理論は、スピンに起因する反発的ポテンシャルによって、宇宙論的モデルにおける初期特異性を解消できるか？
• RQ4 ねじれを有する時空におけるポアンカレ群の役割は何か？標準的一般相対性理論におけるそれとどのように異なるか？
• RQ5 アインシュタイン＝カルタン理論は、将来の量子重力理論の古典的極限として妥当であるか？特に標準的一般相対性理論と比較して。

主な発見

• アインシュタイン＝カルタン理論は、修正されたフリードマン方程式 $ \frac{1}{2}\dot{\mathcal{R}}^2 - M\mathcal{R}^{-1} + \frac{3}{2}S^2\mathcal{R}^{-4} = 0 $ に反発的スピンねじれ項を導入し、スケール因子 $ \mathcal{R} $ が0に近づくのを防ぎ、初期特異性を回避することを示した。
• スピンが整列したダストモデルにおいて、初期半径は $ \mathcal{R}(0) \approx 1 $ cm と推定され、密度は $ m^2/\ell^4 $ のオーダーとなり、プランク密度 $ 1/\ell^2 $ よりも著しく低いことが示され、物理的に妥当な領域であることが示された。
• ビアンキ型 I、VII₀、V の解が、スピン効果がせん断効果を上回る場合に特異性のない解として存在することを示し、ねじれ駆動の特異性のない進化の妥当性を裏付けた。
• ねじれが並進の表面密度を表すことで、完全なポアンカレ群が時空の対称性群として回復され、曲率がローレンツ変換を表す。
• ねじれの存在下でも、エネルギー運動量テンソルの発散が0でなくても保存則が成り立つ。これはカルタンの初期の誤解を是正するものであり、ビアンキ恒等式から保存則が導かれる。
• 理論は超対称理論と整合する。単純な超対称理論は、質量ゼロのラリータ＝シュヴィンガー場をスピン源とするECTと等価であり、結合されたアインシュタイン＝カルタン＝ディラック方程式のコーシー問題は適切に定式化されている。