[論文レビュー] Einstein is Newton with space curved

Naresh Dadhich|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、時空の曲率を導入した際にアインシュタインの一般相対性理論がニュートン力学の重力に還元されることを示しており、重力の自己相互作用および質量ゼロの粒子（光子など）への普遍的結合がシュバルツシルト解を一意に決定することを明らかにしている。主な結果は、自己相互作用によって生成される曲率のため、重力ポテンシャルが無限遠でしかゼロにならないこと、これが軌道の近日点移動や光の屈折を説明することにある。

ABSTRACT

The two defining features of the Einsteinian gravity are that it is self interactive as well as it links universally to all particles including zero mass particles. In the process of obtaining the Schwarzshild solution for gravitational field of a mass point, we would demonstrate how are these features incorporated? We would also show, unlike the Newtonian gravity, why the gravitational potential in the Schwarzshild solution can have its zero only at infinity and nowhere else;i.e. it is determined absolutely. We also consider particle orbits to expose certain insightful and subtle points of concept and principle.

研究の動機と目的

• アインシュタインの重力が自己相互作用および質量ゼロの粒子への普遍的結合を組み込むことで、ニュートン力学の重力がどのように拡張されるかを明確にすること。
• 標準的な教科書的導出を越えて、シュバルツシルト解の概念的・物理的起源を明らかにすること。
• シュバルツシルト解における重力ポテンシャルがなぜ有限半径ではなく無限遠でのみゼロになる必要があるかを説明すること。
• 重力の自己相互作用によって駆動される時空の曲率が、加速度を伴わずに光子が重力を感じることを可能にする仕組みを示すこと。
• 自己相互作用が近日点移動を引き起こし、ニュートン的予測を上回る軌道力学をどのように変化させるかを明らかにすること。

提案手法

• 真空中の光速が一定であることとニュートン的径方向測地線を課してシュバルツシルト計量を導出する。
• 計量のアンサッツ $ ds^2 = A dt^2 - B dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) $ を用い、$ A, B $ を $ r $ の関数とする。
• 光子が加速度を受けることを防ぐため、$ AB = 1 $ を課して光速の一定性を保証する。
• 時間的測地線方程式を導出し、ニュートン力学に一致させることで $ A = 1 + 2\Phi $ を固定し、$ \Phi $ をニュートン的ポテンシャルとする。
• 真空中のアインシュタイン方程式 $ R_{ab} = 0 $ を解き、$ R^t_t = R^r_r $ から $ AB = 1 $ を得、$ R^\theta_\theta = 0 $ から積分定数を固定する。
• 曲がった空間におけるラプラス方程式 $ \nabla^2\Phi = 0 $ を用いて $ \Phi = -M/r $ を導出し、シュバルツシルトのポテンシャルが無限遠で絶対ゼロを持つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量ゼロの粒子（光子など）を重力的相互作用に含めることで、なぜアインシュタイン理論において時空の曲率が一意に導かれるのか？
• RQ2 シュバルツシルト解における重力ポテンシャルがなぜ有限半径ではなく無限遠でのみゼロになる必要があるのか？
• RQ3 重力の自己相互作用は時空幾何にどのように符号化されており、それが光子および質量を持つ粒子の運動にどのように影響するか？
• RQ4 真空アインシュタイン方程式 $ R_{ab} = 0 $ がポテンシャルの絶対値を決定する役割を果たす仕組みは何か？これはニュートン力学とどのように異なるか？
• RQ5 軌道方程式に現れる非ニュートン的項 $ 3m u^2 $ は、自己相互作用によってどのように生じ、近日点移動を引き起こすのか？

主な発見

• シュバルツシルト解は、アインシュタイン方程式を完全に解かずに、ニュートン的径方向測地線と真空中の光速一定という2つの物理的条件を課すことで一意に決定される。
• 光子の測地線から導かれる条件 $ AB = 1 $ は時空の曲率を強制し、光速が曲がった空間でも一定であることを保証する。
• ポテンシャル $ \Phi = -M/r $ は絶対的に固定されており、無限遠でのみゼロとなる。これは真空方程式 $ R^{\theta}_\theta = 0 $ によって積分定数 $ k = 0 $ が固定されるためである。
• 重力の自己相互作用は力を生じさせることなく空間を曲げ、光子が加速度を伴わずに曲がった経路をたどることを可能にする。これは光子軌道方程式の $ 3mu^2 $ 項に現れる。
• 軌道方程式 $ u'' + u = 3mu^2 $ の $ 3mu^2 $ 項は自己相互作用に起因し、質量を持つ粒子の軌道における近日点移動を引き起こす。
• 一定ポテンシャル $ \Phi = k $ は非自明な応力 $ T^t_t = T^r_r = k/r^2 $ を生成し、漸近的にグローバルモノポールに類似した振る舞いを示す。これは一定の $ \Phi $ が曲がった空間において物理的意味を持つことを示している。