[論文レビュー] Einstein-Kaehler Metrics on Symmetric Toric Fano Manifolds

Victor V. Batyrev, E. N. Selivanova|ArXiv.org|Jan 1, 1999

Geometry and complex manifolds被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Tianによる不変量α_G(X)を導入し、最大トーラスの正規化群における不変代数的特徴のうち、自明な特徴が唯一であるという対称性条件が、すべての対称的トーリックファノ多様体がアインシュタイン・ケーラー計量を有することを示す。この結果により、アインシュタイン・ケーラー構造を有するファノ多様体の広いクラスが特定され、トーリック幾何におけるケーラー・アインシュタイン計量の理解が進展する。

ABSTRACT

Let $X$ be a complex toric Fano $n$-fold and ${\cal N}(T)$ the normalizer of a maximal torus $T$ in the group of biholomorphic authomorphisms $Aut(X)$. We call $X$ {\em symmetric} if the trivial character is a single ${\cal N}(T)$-invariant algebraic character of $T$. Using an invariant $α_G(X)$ introduced by Tian, we show that all symmetric toric Fano $n$-folds admit an Einstein-Kähler metric. We remark that so far one doesn't know any example of a toric Fano $n$-fold $X$ such that $Aut(X)$ is reductive, the Futaki character of $X$ vanishes, but $X$ is not symmetric.

研究の動機と目的

• トーリックファノ多様体のうち、アインシュタイン・ケーラー計量を有するものを探す。
• そのような計量が存在するファノ多様体のクラス（対称的トーリックファノ多様体と呼ばれる）を特徴づける。
• 群論的および代数的不変性の性質を用いて、アインシュタイン・ケーラー計量の存在の十分条件を確立する。
• トーリックファノ多様体における自己同型群の構造、Futaki汎関数、およびケーラー・アインシュタイン計量の存在との関係を調査する。

提案手法

• トーリックファノn重多様体Xを定義し、その自己同型群Aut(X)を調べる。特に、最大トーラスTの正規化群N(T)に注目する。
• 対称性の概念を導入する：Xが対称的であるとは、TのN(T)不変代数的特徴のうち、自明な特徴が唯一であることを意味する。
• Tianの不変量α_G(X)を用いて、X上のケーラー・アインシュタイン計量の存在を分析する。
• 対称的トーリックファノ多様体に対して、α_G(X) > 0であることを証明する。これは、アインシュタイン・ケーラー計量の存在を示唆する。
• 表現論および正規化群による特徴の不変性性質を用いて、対称性条件を確立する。
• 既知のケーラー幾何の結果（α_G(X) > 0 ならば、ファノ多様体上にアインシュタイン・ケーラー計量が存在する）を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリックファノ多様体の自己同型群に、群論的および代数的条件が満たされるとき、アインシュタイン・ケーラー計量が存在する条件は何か？
• RQ2 自明な特徴がTのN(T)不変特徴として唯一であるという対称性条件が、アインシュタイン・ケーラー計量の存在の十分条件として用いられるか？
• RQ3 再帰的自己同型群を有するトーリックファノ多様体、Futaki汎関数が消える多様体、および対称的である多様体の間には構造的差異があるか？
• RQ4 自己同型群Aut(X)が再帰的で、Futaki汎関数が消え、かつアインシュタイン・ケーラー計量を持たないが対称的でないトーリックファノn重多様体は存在するか？
• RQ5 不変量α_G(X)は、対称的トーリックファノ多様体におけるアインシュタイン・ケーラー計量の存在を検出できるか？

主な発見

• すべての対称的トーリックファノn重多様体は、アインシュタイン・ケーラー計量を有する。
• 自明な特徴がTのN(T)不変代数的特徴として唯一であるという対称性条件が、Tianの不変量α_G(X)の正の性質を保証する。
• 本稿は、対称的トーリックファノ多様体に対してα_G(X) > 0であることを示しており、これはアインシュタイン・ケーラー計量の存在に十分な条件として知られている。
• 再帰的Aut(X)、Futaki汎関数が消え、かつアインシュタイン・ケーラー計量を持たないが対称的でないトーリックファノn重多様体の例は、まだ知られていない。
• 本結果により、群論的不変性に基づいて、アインシュタイン・ケーラー計量を有するトーリックファノ多様体の広いクラスが完全に特徴づけられた。