[論文レビュー] Einstein-Maxwell and Einstein-Proca theory from a modified gravitational action

Dan N. Vollick|ArXiv.org|Jan 4, 2006

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ F^{\rho\sigma}F_{\rho\sigma} $ に比例する項を導入した修正された重力作用から、Einstein-ProcaおよびEinstein-Maxwell方程式を導出する。ここで $ F_{\rho\sigma} = \nabla_\rho \bar{\nabla}_\sigma - \nabla_\sigma \bar{\nabla}_\rho $ であり、$ \Gamma_\mu = \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} $ は $ U(1) $ゲージ場と同様に変換する。主な結果として、結合定数 $ \beta = -3/(4\kappa) $ の特定の選択により、幾何的スカラー密度 $ g^{-ie/2} $ からEinstein-Maxwell方程式が再現され、質量ありと質量なしのベクトル場がパラティーニ形式主義内で統一される。

ABSTRACT

A modified gravitational action is considered which involves the quantity $F_{μν}=\partial_μΓ_ν-\partial_νΓ_μ$, where $Γ_μ=Γ^α_{μα}$. Since $Γ_μ$ transforms like a U(1) gauge field under coordinate transformations terms such as $F^{μν}F_{μν}$ are invariant under coordinate transformations. If such a term is added to the usual gravitational action the resulting field equations, obtained from a Palatini variation, are the Einstein-Proca equations. The vector field can be coupled to point charges or to a complex scalar density of weight $ie$, where $e$ is the charge of the field. If this scalar density is taken to be $g^{-ie/2}$ and the overall factor of the scalar density Lagrangian takes on a particular value the resulting field equations are the Einstein-Maxwell equations.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の幾何的枠組み内で、修正された重力作用を用いて質量ありと質量なしのベクトル場を統一すること。
• 座標変換の下で $ \Gamma_\mu = \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} $ が $ U(1) $ゲージ場と同様に変換することを示し、ゲージ不変な場強度 $ F_{\mu\nu} $ を得ること。
• $ F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} $ を含む重力作用のパラティーニ変分によりEinstein-Proca方程式を導出すること。
• 結合定数 $ \beta = -3/(4\kappa) $ のとき、重み $ ie $ の複素スカラー密度 $ g^{-ie/2} $ に結合させることでEinstein-Maxwell方程式が得られることを示すこと。

提案手法

• 作用 $ S = \int \left[ -\frac{1}{2\kappa}R - \frac{\alpha}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + L_M \right] \sqrt{g} \, d^4x $ を導入し、$ F_{\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma_\nu - \partial_\nu \Gamma_\mu $ とする。
• 重力場テンソル $ g_{\mu\nu} $ と接続 $ \Gamma^\alpha_{\mu\nu} $ を独立変数として扱うパラティーニ変分を用いて場の方程式を導出する。
• $ \Gamma_\mu $ が座標変換の下で $ U(1) $ゲージ場と同様に変換されることを示し、$ F_{\mu\nu} $ がテンソルとなり、ゲージ不変項が可能になることを示す。
• 点電荷に寄与する電流 $ J^\mu $ を通じてベクトル場 $ V_\mu $ を電荷に結合させ、重み $ ie $ の複素スカラー密度 $ \phi $ に結合させ、特に $ \phi = g^{-ie/2} $ とする。
• 接続変分から $ V_\mu $ のプローカ方程式を導出し、$ \beta = -3/(4\kappa) $ のときスカラー密度のラグランジアンがEinstein-Maxwell方程式を導くことを示す。
• 電流保存 $ \tilde{\nabla}_\mu J^\mu = 0 $ と接続変分のトレースがゼロであることを確認し、パラティーニ形式主義と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} $ を含む修正された重力作用から、$ \Gamma_\mu = \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} $ を用いてEinstein-Proca方程式を導出できるか？
• RQ2 $ \Gamma_\mu $ は座標変換の下で $ U(1) $ゲージ場と同様に変換するか？ また、$ F_{\mu\nu} $ はそのような変換の下でテンソルとなるか？
• RQ3 重み $ ie $ の複素スカラー密度、特に $ g^{-ie/2} $ をベクトル場に結合させると、Einstein-Maxwell方程式が再現されるか？
• RQ4 スカラー密度ラグランジアンにおける結合定数 $ \beta $ のどの値が質量なしの極限およびEinstein-Maxwell方程式を導くか？
• RQ5 点電荷源を含めることで、この幾何的枠組みにおける場の方程式にどのような影響が生じるか？

主な発見

• 修正作用のパラティーニ変分から導かれた場の方程式はEinstein-Proca方程式であり、$ V_\mu $ はプローカ方程式 $ \tilde{\nabla}_\beta F^{\beta\mu} = \frac{3}{2\alpha\kappa} V^\mu + J^\mu $ を満たす。
• ベクトル場 $ V\mu $ は電流 $ J^\mu $ を通じて点電荷によって駆動され、電流保存 $ \tilde{\nabla}_\mu J^\mu = 0 $ が成り立つ。
• 重み $ ie $ の複素スカラー密度 $ \phi $ に結合させると、場の方程式は質量のあるベクトル場 $ V_\mu $ と複素スカラー場 $ \phi $ を最小に結合したEinstein重力に簡略化される。
• $ g^{-ie/2} $ の幾何的スカラー密度に対して、ラグランジアン $ L = -\frac{1}{4}\beta \sqrt{g} g^{-2} \nabla_\mu g \nabla^\mu g $ は $ \beta = -3/(4\kappa) $ のときEinstein-Maxwell方程式を導く。
• ベクトル場方程式は $ \tilde{\nabla}_\beta F^{\beta\mu} = \left[ \frac{3}{2\alpha\kappa} + \frac{2\beta}{\alpha} \right] V^\mu $ となり、$ \beta = -3/(4\kappa) $ とすると質量項が消えてマクスウェル場方程式が得られる。
• 接続変分のトレースがゼロであることを示し、解に4つの任意関数が存在することを示しており、パラティーニ形式主義に起因する不定な系と整合的である。