[論文レビュー] Einstein Metrics Adapted to Contact Structures on 3-Manifolds

Brendan Guilfoyle|ArXiv.org|Dec 5, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、接触構造を備えた3次元リーマン多様体にニューマン＝ペンローズ＝ペルジェスのスピン係数形式を適用し、接触構造が適切なアインシュタイン計量を許容するための必要十分条件を示している。その条件は、測地的で発散なし、かつ一定のねじれを持つ曲線族（共形）が存在することである。主な結果として、双曲的3次元多様体は適切な接触構造を許容しないが、平坦および楕円的空間形式において適切な接触構造を備えるものは、それぞれR³およびS³における標準的構造と局所的に接触等長であることが示された。

ABSTRACT

The Newman-Penrose-Perjes formalism is applied to smooth contact structures on riemannian 3-manifolds. In particular it is shown that a contact 3-manifold admits an adapted riemannian metric if and only if it admits a metric with a divergence-free, constantly twisting, geodesic congruence. The shear of this congruence is identified with the torsion of the associated pseudohermitian structure, while the Tanaka-Webster curvature is identified with certain derivatives of the spin coefficients. The particular case where the associated riemannian metric is Einstein is studied in detail. It is found that the torsion is constant and the field equations are completely solved locally. Hyperbolic space forms are shown not to have adapted contact structures, even locally, while contact structures adapted to a flat or elliptic space form are contact isometric to the standard one.

研究の動機と目的

• アインシュタイン計量に適した接触構造を許容する3次元多様体を特定すること。
• 適切な計量を備えた接触3次元多様体におけるリーブベクトル場および関連する曲線族の幾何的性質を特徴づけること。
• 空間形式（H³, R³, S³）に適した接触構造の局所分類を、アインシュタイン条件のもとで行うこと。
• 3次元リーマン幾何的設定において、タナカ＝ウェブスター曲率とねじれがスピン係数とどのように関係するかを確立すること。
• スピン係数技法を用いて、3次元におけるアインシュタインに適合する接触構造の局所的モジュライ空間を解明すること。

提案手法

• スピン係数形式を3次元リーマン幾何に適応し、複素ヌルフレームとスピン係数を主変数として用いる。
• リーブベクトル場を、適切な計量のもとで接触平面に直交する曲線族（優先的曲線族）として特定する。
• 曲線族のせん断（shear）を擬ヘルミートねじれとして表現し、タナカ＝ウェブスター曲率をスピン係数の微分として表現する。
• 一定曲率（アインシュタイン条件）の条件を用いて、局所座標における計量および接触形式の偏微分方程式系を導出する。
• 平坦および楕円的ケースにおいて、得られた偏微分方程式を明示的に解き、R³およびS³における標準的構造と局所的に接触等長であることを示す。
• 座標変換および光線再パrametrizationを用いて、計量および接触形式を標準的球面的またはユークリッド的形に簡約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの3次元多様体がアインシュタイン計量に適合する接触構造を許容するか？
• RQ2 アインシュタイン計量に適合する接触3次元多様体において、リーブベクトル場の曲線族はどのような幾何的性質を特徴づけるか？
• RQ3 アインシュタイン計量に適合する接触3次元多様体の局所的構造は、完全に分類可能か？
• RQ4 3次元リーマン幾何的設定において、タナカ＝ウェブスター曲率とねじれはスピン係数とどのように関係するか？
• RQ5 双曲的3次元多様体は、その標準計量に適合する接触構造を許容するか？

主な発見

• 双曲的3次元多様体は、アインシュタイン条件のもとでは、局所的にも適切な接触構造を許容しない。
• 平坦計量に適合するR³上の滑らかな接触構造は、すべて局所的にR³における標準的接触構造（平坦計量付き）と接触等長である。
• 楕円的計量に適合するR³上の滑らかな接触構造は、すべて局所的にS³における標準的接触構造（球面計量付き）と接触等長である。
• アインシュタイン3次元多様体に適合する接触構造において、ねじれは定数であり、曲率とねじれは偏微分方程式系によって関係づけられ、その系が局所幾何を完全に決定する。
• 楕円的ケースにおける場の運動方程式の解は、S³における標準的球面計量および接触形式と局所的に同値な計量および接触形式を与える。
• 平坦ケースでは、計量および接触形式がR³における標準的平坦構造に簡約され、適切な接触構造の局所的剛性が確認される。