[論文レビュー] Einstein metrics on 5-dimensional Seifert bundles

Janós Kollár|ArXiv.org|Aug 13, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正の orbifold チャーン類をもつ複素軌道的多様体上に5次元のSeifert束を構成する一般枠組みを確立する。log 末端特異点に良い ℂ*-作用をもつことと、正の曲率をもつSeifert束との間の同値性を活用し、基底軌道的多様体の canonical class が束の1番目のチャーン類の正の有理数倍であるとき、そのような束がKähler–Einstein計量をもつことを証明する。これにより、このような構造をもつ単連結5次元多様体の分類が得られる。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study Seifert bundle structures on simply connected 5--manifolds. We classify all such 5--manifolds which admit a Seifert bundle structure, and in a few cases all Seifert bundle structures are also classified. These results are then used to construct positive Ricci curvature Einstein metrics on these manifolds. The proof has 4 main steps. First, the study of the Leray spectral sequence of the Seifert bundle, based on work of Orlik--Wagreich. Second, the study of log Del Pezzo surfaces. Third, the construction of Kähler--Einstein metrics on Del Pezzo orbifolds using the algebraic existence criterion of Demailly--Kollár. Fourth, the lifting of the Kähler--Einstein metric on the base of a Seifert bundle to an Einstein metric on the total space using the Kobayashi--Boyer--Galicki method.

研究の動機と目的

• 標準的リンク構成を超えて、5次元Seifert束にEinstein計量を一般化して構成すること。
• 正のリッチ曲率をもつSeifert束構造をもつ5次元多様体の位相的および幾何的制約を特徴づけること。
• 孤立したlog 末端特異点にℂ*-作用をもつものと、Einstein計量をもつSeifert束との間の対応関係を確立すること。
• このような特異点のリンクとして得られる単連結5次元多様体の正確な位相的型を特定すること。
• 特に、軌道的canonical class と分岐除集合 Δ からなる軌道的不変量が、Einstein計量の存在をどのように制約するかを検討すること。

提案手法

• 分岐除集合 Δ がファイバーの重複度を符号化する複素軌道的多様体 (X, Δ) 上のSeifert束の理論を用いる。
• 定理1を用いて、基底軌道的多様体 (X, Δ) に正のリッチ曲率をもつKähler–Einstein計量を、Seifert束の全空間 L に持ち上げる。
• L 上にEinstein計量が存在するための条件として、c₁(L/X) が c₁^orb(X, Δ) の正の有理数倍であることを利用する。
• log 末端特異点と良いℂ*-作用をもつSeifert束との間の対応関係を通じて、Seifert束の幾何を複素代数幾何と結びつける。
• 一般化された付随公式と軌道的コホモロジーを用いて、canonical class とホモロジーの torsion を分析する。
• 第二ステーブル・ホイットニー類と第二ホモロジーを含む位相的不変量を用いて、リンクとして得られる単連結5次元多様体を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の軌道的チャーン類をもつ軌道的多様体上に5次元Seifert束をもつ単連結5次元多様体は、どのようなものか？
• RQ2 ℂ*-作用を仮定しない場合、孤立したlog 末端特異点のリンクにEinstein計量が存在する条件をどの程度特徴づけられるか？
• RQ3 canonical class が自明なCalabi–Yau軌道的多様体上に5次元のSeifert束をもつとき、その正確な位相的型は何か？
• RQ4 軌道的不変量（c₁^orb(X, Δ) と Δ）は、基底上にKähler–Einstein計量が存在するのをどのように制約するか？
• RQ5 log Del Pezzo または K3 表面から得られるものに限らない、5次元多様体にEinstein計量が存在するものの分類を、どのように拡張できるか？

主な発見

• コンパクトな複素軌道的多様体 (X, Δ) 上に5次元のSeifert束 L が存在するとき、c₁(L/X) が c₁^orb(X, Δ) の正の有理数倍であれば、L はEinstein計量をもつ。
• H₁(L, ℤ) = 0 かつ (X, Δ) がCalabi–Yau軌道的多様体であれば、Δ = 0 であり、X はcanonical class が自明なCalabi–Yau軌道的多様体である。
• L が単連結で、(S, Δ) がCalabi–Yau であれば、基底表面 S の最小解消はK3表面である。
• 単連結なSeifert束で H₁(L, ℤ) = 0 かつ c₁(K_X + Δ) が c₁(L/X) に比例する場合、第二ステーブル・ホイットニー類 w₂(L) は消える。
• H₁(L, ℤ) = 0 かつCalabi–Yau軌道的多様体上にSeifert束構造をもつ任意の単連結5次元多様体 L は、高々21個の S² × S³ の連結和にホメオモーフィックである。
• L の位相は H₂(L, ℤ) によって一意に決定され、与えられた条件下ではその第二ホモロジーは torsion-free である。