[論文レビュー] Einstein Metrics on Complex Surfaces

Claude LeBrun|ArXiv.org|Jun 29, 1995

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、コンpakト複素曲面におけるアインシュタイン計量について研究し、その非ケーラーなアインシュタインヘルミート計量が、$ℚ\mathbb{CP}^2$ の1〜3点を blown up したものから生じることを証明している。等長群には2次元トーラスが含まれる。唯一のこのような計量は、1点 blown up された場合のペイジ計量であり、3点 blown up の場合には、ケーラー＝アインシュタイン計量しか存在しない。これは、この場合におけるアインシュタインヘルミート計量の一意性を示唆している。

ABSTRACT

We consider compact complex surfaces with Hermitian metrics which are Einstein but not Kaehler. It is shown that the manifold must be CP2 blown up at 1,2, or 3 points, and the isometry group of the metric must contain a 2-torus. Thus the Page metric on CP2#(-CP2) is almost the only metric of this type.

研究の動機と目的

• コンパクト複素曲面が、その複素構造に関してケーラーでないアインシュタインヘルミート計量をもつことができるかどうかを特定すること。
• 非ケーラーなアインシュタインヘルミート計量をもつすべてのコンパクト複素曲面を分類すること。
• $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上のこのような計量が、必然的にケーラー＝アインシュタイン計量であるかどうかを調査すること。
• $\mathbb{CP}^2$ の blown up に対して、アインシュタインヘルミート計量の存在と性質をテストする計算手法を開発すること。

提案手法

• アインシュタイン4次元多様体に整数的複素構造 $J$ が存在する場合、自己双対なウェイリ曲率 $W_+$ が $J$-不変であることを、ゴールドバーグ＝サックスの定理を用いて示す。
• ドゥルジンスキーの結果を適用し、$W_+$ が高々2つの異なる固有値を持つ場合、計量は局所的に共形ケーラーであることを示す。
• ゴールドバーグ＝サックスとドゥルジンスキーの結果を統合し、複素曲面上の任意のアインシュタインヘルミート計量が、共形ケーラーであることを確立する。
• 計量の共形類を分析し、$\mathbb{CP}^2$ の blown up におけるケーラー類に関して、汎関数 $\mathcal{A}|_P = \frac{1}{4\pi^2}\int \frac{s^2}{24} d\mu$ の式を導出する。
• $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$、$\mathbb{CP}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$、および $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ に対して、この汎関数を明示的に計算し、極値ケーラー計量に対応する臨界点を同定する。
• 対称性の仮定と数値解析を用いて、臨界点がアインシュタイン計量に対応するかどうかをテストし、特に $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ の場合に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素曲面が、その複素構造に関してケーラーでないアインシュタインヘルミート計量をもつことができるか？
• RQ2 非ケーラーなアインシュタインヘルミート計量をもつコンパクト複素曲面の完全な分類は何か？
• RQ3 $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上の唯一の非ケーラーなアインシュタインヘルミート計量はペイジ計量か？
• RQ4 $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上のすべてのアインシュタインヘルミート計量は、必然的にケーラー＝アインシュタイン計量から生じるか？
• RQ5 汎関数 $\mathcal{A}|_P$ を用いて、$\mathbb{CP}^2$ の blown up における与えられたケーラー類がアインシュタインヘルミート計量を支持するかどうかを特定できるか？

主な発見

• 非ケーラーなアインシュタインヘルミート計量をもつ唯一のコンパクト複素曲面は $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ であり、計量は等長変換およびスケーリングの意味でペイジ計量に限られる。
• $\mathbb{CP}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$ において、汎関数 $\mathcal{A}|_P$ は $y \approx 0.9577$ に一意な臨界点を持つ。これは極値ケーラー計量の存在を示唆するが、アインシュタイン計量の存在は確認されていない。
• $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ において、汎関数 $\mathcal{A}|_P$ は $\alpha = \beta$、$\delta = 0$ に他に臨界点を持たず、これは反標準クラスに対応する。これにより、対称性のもとでは、唯一ケーラー＝アインシュタイン計量が存在することが示唆される。
• $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ における $\mathcal{A}|_P$ の臨界値は $x \approx 2.1839$ に現れ、ペイジ計量における射影直線と特異除集合の面積比と一致する。
• $\mathbb{CP}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$ の臨界ケーラー類において、トレースフリーのリッチ曲率ノルムは $\frac{1}{8\pi^2}\int |\mathrm{r}_0|^2 d\mu \approx 0.1365$ である。これは、このような計量が存在する場合、アインシュタイン計量からわずかにずれていることを示唆している。
• 開発された計算手法により、$\mathbb{CP}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$ および $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上にアインシュタインヘルミート計量が存在するかどうかをテストできるようになった。特に、後者の場合において、ケーラー＝アインシュタイン計量の一意性に強く支持される証拠が得られた。