[論文レビュー] Einstein Metrics on Rational Homology Spheres

Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki|ArXiv.org|Nov 20, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、重み付き斉次多項式の分岐被覆とファノ軌道体上のケーラー＝アインシュタイン計量を用いて、3より大きいすべての奇数次元において、無限個の単連結な有理ホモロジー球面に連続的族としてのサスカリアン＝アインシュタイン計量の存在を確立する。主な貢献は、第二ホモロジー群に任意のねじれを有する計量と非自明なモジュライ空間を備えたものを構成し、次元とともに有効パラメータ数が指数関数的に増加することを示したことである。

ABSTRACT

We prove the existence of Sasakian-Einstein metrics on infinitely many rational homology spheres in all odd dimensions greater than 3. In dimension 5 we obain somewhat sharper results. There are examples where the number of effective parameters in the Einstein metric grows exponentially with dimension.

研究の動機と目的

• 非自明な有理ホモロジー球面にアインシュタイン計量の存在を確立すること、特に3より大きい奇数次元において。
• 既知の同次的または3-サスカリアンの場合を超えて、連続的モジュライを有する無限族へのサスカリアン＝アインシュタイン計量の構成を拡張すること。
• 第二ホモロジー群に所望のねじれを有する単連結な有理ホモロジー球面とサスカリアン＝アインシュタイン計量を体系的に構成する方法を提供すること。
• このような計量のモジュライ空間における有効な実パラメータ数が次元とともに指数関数的に増加することを示すこと。
• 重み付き斉次多項式の分岐被覆から生じるリンクのベッチ数およびホモロジー群を分類・計算すること。

提案手法

• 有理ホモロジー球面を、f が孤立特異点を持ち、正則的であると仮定した重み付き斉次多項式 F = z₀ᵏ + f(z₁,…,zₘ) のリンクとして構成する。
• 定理3を適用して、Hₘ₋₁(L_F, ℤ) の位数を kᵇₘ₋₂(L_f) として計算する。ここで bₘ₋₂ は f のリンクの (m−2)番目のベッチ数である。
• 定理5のklt条件およびファノ条件を用いて、商空間 X = L_F / S¹ としての関連する軌道体 X にケーラー＝アインシュタイン計量が存在することを保証する。
• Sasaki-Einstein対応を用いて、ファノ軌道体 X におけるケーラー＝アインシュタイン計量の存在を、リンク L_F におけるサスカリアン＝アインシュタイン計量の存在に翻訳する。
• ミルナーとオルリックのベッチ数の公式を用いて、bₘ₋₂(L_f) をインデックスの部分集合ごとの和として計算し、ホモロジー群の位数を明示的に計算可能にする。
• 有効な複素パラメータ数 μ を μ = h⁰(ℙ(𝐰), 𝒪(d)) − ∑ᵢ h⁰(ℙ(𝐰), 𝒪(wᵢ)) で計算し、計量のモジュライ空間の次元を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3より大きいすべての奇数次元において、無限個の単連結な有理ホモロジー球面にサスカリアン＝アインシュタイン計量を構成できるか？
• RQ2 重み付き斉次多項式の重みおよび次数が、関連するファノ軌道体にケーラー＝アインシュタイン計量の存在を保証するための条件は何か？
• RQ3 サスカリアン＝アインシュタイン計量のモジュライ空間における有効な実パラメータ数は、多様体の次元とともにどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 このような有理ホモロジー球面の第二ホモロジー群 H₂(M, ℤ) の構造は何か？また、任意のねじれ位数を実現できるか？
• RQ5 重み付き射影空間内のカラビ＝ヤウ超曲面の分岐被覆は、サスカリアン＝アインシュタイン計量を許容する有理ホモロジー球面を生成できるか？

主な発見

• 3または2と互いに素な整数 k > 2 に対して、|H₂(Mₖ⁵, ℤ)| = k² かつモジュライ空間に2つの実パラメータを有する単連結な有理ホモロジー5次元球面 Mₖ⁵ にサスカリアン＝アインシュタイン計量が存在する。
• 次元7において、Fermat-カラビ＝ヤウ超曲面 z₀ᵏ + z₁⁴ + z₂⁴ + z₃⁴ = 0 の分岐被覆から得られる有理ホモロジー球面は、k > 12 のとき |H₂| = k²¹ かつ38個の有効実パラメータを持つ。
• 次元9において、同じ構成により |H₂| = k²⁰⁴ かつ202個の有効実パラメータを持つ有理ホモロジー球面が得られる。k > 18 のとき。
• 標準的ケース F = z₀ᵏ + z₁ˡ + ⋯ + zₘˡ = 0 において、l = m+1 かつ k = m のとき、有効実パラメータ数は 2(₂ₘCₘ₊₁ − m²) に等しく、m とともに指数関数的に増加する。
• z₀³ + z₁⁴ + z₂⁴ + z₃⁴ = 0 に対応するリンク M₅³,₄ は、|H₂| = 3⁶ = 729 で、12パラメータ族のサスカリアン＝アインシュタイン計量を許容する有理ホモロジー5次元球面である。
• k が ( (m−1)l² / ((m−1)l(l−m)+m ) < k < l/(l−m) ) の範囲にあるとき、klt 条件およびファノ条件が満たされ、計量の存在が保証される。