[論文レビュー] Einstein Metrics on Spheres

Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki+1 more|ArXiv.org|Sep 24, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Brieskorn-Pham特異点から導かれるSasakian-Einstein構造を用いて、奇数次元球面に無限個の非同型で非一様なEinstein計量を構成する。重み付き射影商に沿った軌道体Kähler-Einstein計量に連続法を適用することで、標準的および異種球面の両方において、二重指数的族の非同型なEinstein計量の存在を証明し、異種球面上のEinstein計量に関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove the existence of an abundance of new Einstein metrics on odd dimensional spheres including exotic spheres, many of them depending on continuous parameters. The number of families as well as the number of parameter grows double exponentially with the dimension. Our method of proof uses Brieskorn-Pham singularities to realize spheres (and exotic spheres) as circle orbi-bundles over complex algebraic orbifolds, and lift a Kaehler-Einstein metric from the orbifold to a Sasakian-Einstein metric on the sphere.

研究の動機と目的

• 異種球面がEinstein計量をもつかどうかという未解決問題を解消すること。
• 奇数次元球面上に非一様Einstein計量の豊富な族が存在することを示すこと。
• 既知の同調的Einstein計量の結果を、球面上の非同調的で連続的な族へと拡張すること。
• 7次元球面のすべての向き付け可能な微分同相型にEinstein計量が存在することを確立すること。

提案手法

• ℂ^m における ∑z_i^{a_i} = 0 で定義されるBrieskorn-Pham特異点と、S^{2m-1} 内のそのリンク L(a) を用いる。
• 重み付き射影商 (Y(a)\{0})/ℂ* 上の軌道体Kähler-Einstein計量に連続法を適用する。
• Kähler-Einstein構造をリンク L(a) 上のSasakian-Einstein計量へと持ち上げる。L(a) は (2m-3) 次元多様体である。
• 連続法によるKähler-Einstein計量の存在を保証するため、列 a = (a_1,…,a_m) に数値的条件を課す。
• 定義多項式の重み付き同調的摂動を用いて、互いに同値でない計量の連続族を生成する。
• Euklidの数列および素数分布の性質を含む代数幾何学および微分位相幾何学の結果を応用し、二重指数的族を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異種球面はEinstein計量をもつのか。もしそうなら、同値でない族はいくつ存在するか。
• RQ2 標準的および同調的計量以外の非一様Einstein計量は、奇数次元球面上に構成可能か。
• RQ3 球面上のSasakian-Einstein計量のモジュライ空間の次元と構造は何か。
• RQ4 計量の数と分布は次元とともにどのように増加するか。
• RQ5 この構成を、標準的および異種球面を同時に得る形に一般化可能か。

主な発見

• S^5 に対して、68 個の同値でないSasakian-Einstein計量族を構成し、そのうち1つの族は実次元10を持つ。
• S^7 に対して、すべての28個の向き付け可能なホモトピー7次元球面は、同値でないSasakian-Einstein構造の族を有し、族の数は231から452の間である。
• 標準的7次元球面は、例題41で示されるように、82次元のSasakian-Einstein計量族を有する。
• Euklidの数列を用いることで、(2m-3) 次元球面上に少なくとも (1/3)(1.264)^{2^{m-1}} - 0.5 個の同値でないSasakian-Einstein計量族が得られる。
• Euklidの数列に基づく列に対して、ある (2m-3) 次元球面上で、実次元が少なくとも 2((1.264)^{2^{m-1}} - 2.5) である族が存在する。
• この構成により、標準的およびKervaireの(4m-3)次元球面の両方において、同値でない族が二重指数的に多く得られ、特に a_m が適切な区間内の素数に選ばれた場合に顕著である。