[論文レビュー] Einstein metrics with prescribed conformal infinity on 4-manifolds

Michael T. Anderson|ArXiv.org|May 29, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界に指定された conformal infinity を持つ 4 次元多様体上における conformally compact Einstein 計量の存在条件を確立し、境界のスカラー曲率が正であり、かつ多様体が特定の位相的制約を満たす場合にそのような計量が存在することを示している。特に、境界の包含写像が任意の体 F に関する第二ホモロジーに全射を誘導するという条件が重要である。主な結果は、このような Einstein 計量の空間から conformal class の空間への境界写像が proper であるということである。

ABSTRACT

This paper considers the existence of conformally compact Einstein metrics on 4-manifolds. A reasonably complete understanding is obtained for the existence of such metrics with prescribed conformal infinity, when the conformal infinity is of positive scalar curvature. We find in particular that general solvability in this class depends on the topology of the filling manifold. The obstruction to solvability for arbitrary boundary values is also identified. While most of the paper concerns dimension 4, some general results on the structure of the space of such metrics hold in all dimensions.

研究の動機と目的

• 境界に指定された conformal infinity を持つ 4 次元多様体上における conformally compact Einstein 計量の存在を特定すること。
• 境界計量のスカラー曲率が正である場合に、その計量を拡張するための位相的および幾何的障害を同定すること。
• 漸近的に双曲的 Einstein 計量の空間の構造と、境界への写像の振る舞いを分析すること。
• ホモロジーの全射性と特異集合のcodimension が、境界 conformal class の埋め込み可能性を決定する役割を調査すること。

提案手法

• 各漸近的に双曲的 Einstein 計量に対してその conformal infinity を割り当てる境界写像 Π: E_AH^o → C^o を用いる。
• 位相的制約の下で境界写像の全射性を調べるために、次数論および proper な性質の議論を適用する。
• 環境計量 g とそのコンパクト化 g̃ = ρ²g の間の曲率公式を用い、特に測地的コンパクト化の設定を扱う。
• 方程式 (A.2)–(A.11) を用いて、コンパクト化計量 g̃ のリッチ曲率とスカラー曲率を分析し、C² 計量に対して |K_g + 1| = O(ρ²) が成り立つことを示す。
• 測地線に 沿ったスカラー曲率 s̃ とその微分 d s̃/dt の振る舞いを検討し、s̃′ ≥ 0 および t の上限を確立する。
• 包含写像 ∂M → M がすべての体 F に対して H₂(·, F) に全射を誘導するという条件を用いて、境界写像の proper な性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界 ∂M を持つ 4 次元多様体 M がどのような位相的条件を満たす場合に、指定された conformal infinity を持つ conformally compact Einstein 計量が存在するか。
• RQ2 条件 (1.4) における第二ホモロジーの全射性が、境界写像 Π^o の proper な性質を保証するために果たす役割は何か。
• RQ3 境界計量のスカラー曲率は、漸近的に双曲的 Einstein 計量の存在および構造にどのように影響を与えるか。
• RQ4 境界写像が proper でない場合に、特定の conformal class を AH Einstein 計量で埋め込むことの障害は何か。
• RQ5 AH Einstein 計量が境界をなす conformal class の空間が非連結であることはあり得るか。そのような非連結性を防ぐために必要な位相的または幾何的条件は何か。

主な発見

• π₁(M, ∂M) = 0 かつすべての体 F に対して条件 (1.4) を満たす 4 次元多様体 M に対して、境界写像 Π^o: E_AH^o → C^o は proper である。
• Π^o の proper な性質は、AH Einstein 計量の空間を境界写像で写した像が閉じていることを示し、これは次数論的議論にとって不可欠である。
• 集合 Π(∂E_AH) が空間 C の conformal class を分離するならば、それは codimension 1 の壁を形成し、その先には AH Einstein 計量は存在しない。
• dim M = 4 かつ π₁(M, ∂M) = 0 のとき、空間 E_AH^o は C^∞ 無限次元の Banach 多様体であり、境界写像 Π は指数 0 の Fredholm である。
• 境界計量のスカラー曲率は、公式 (A.8)–(A.10) を通じて環境のリッチ曲率を決定し、境界の幾何と体積の曲率を結びつける。
• 測地的コンパクト化の下で、スカラー曲率 s̃ は s̃′ ≥ 0 を満たし、t² < 4n²/s̃(0) が成り立つ。s̃(0) > 0 ならば、測地線フローの最大時間は有限である。