[論文レビュー] Einstein Relation for Nonequilibrium Steady States

T. Hanney, M. R. Evans|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2002

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、平衡状態における拡散と移動度の関係を示すアインシュタイン関係を、確率的格子模型の非平衡定常状態へ一般化する。粒子の生成・消滅を伴う摂動を導入することで、非平衡状態における非平衡定常状態の系、例えば非対称単純排他過程（ASEP）や駆動型デュマー模型に対して一般化アインシュタイン関係を導出する。詳細なバランスが破れている場合であっても、拡散定数がその摂動下での電流の線形応答に比例することを示している。

ABSTRACT

The Einstein relation, relating the steady state fluctuation properties to the linear response to a perturbation, is considered for steady states of stochastic models with a finite state space. We show how an Einstein relation always holds if the steady state satisfies detailed balance. More generally, we consider nonequilibrium steady states where detailed balance does not hold and show how a generalisation of the Einstein relation may be derived in certain cases. In particular, for the asymmetric simple exclusion process and a driven diffusive dimer model, the external perturbation creates and annihilates particles thus breaking the particle conservation of the unperturbed model.

研究の動機と目的

• 詳細なバランスが成り立たない非平衡定常状態へまで、平衡状態で有効なアインシュタイン関係を拡張すること。
• 駆動型確率的格子模型において、アインシュタイン関係に類似したフラクチュエーション・レスポンス関係が成立するかを調査すること。
• 詳細なバランスを欠く系において、一般化アインシュタイン関係を導出できる条件を特定すること。
• 粒子数が摂動下で保存されない系、例えばASEPや駆動型デュマー拡散モデルのような特定のモデルを分析すること。
• 非平衡状態において、拡散定数と外部摂動に対する電流応答との間の形式的関係を確立すること。

提案手法

• 有限状態空間上の確率的ダイナミクスを記述するためのマスター方程式フレームワークを用いる。
• 累積的電流に類似した観測量 $Y_t$ を定義し、その平均および分散が時間に比例して増加することを仮定する。
• 離散的状態を持つ系に対して、Derridaの手法を用いて電流 $J$ と拡散定数 $\Delta$ の式を導出する。
• 粒子の生成・消滅を伴う摂動を導入し、元のダイナミクスにおける粒子数保存則を破る。
• 定常確率分布の変化を摂動と関係付ける応答関数 $r(\mathcal{C})$ を適用し、バランス条件を満たす。
• 一般化アインシュタイン関係 $\Delta = \text{応答項} \times \text{電流}$ を確立し、$\Omega$ を分配関数から導出された比例定数とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 詳細なバランスが成り立たない非平衡定常状態に対しても、アインシュタイン関係を一般化できるか？
• RQ2 どのような摂動が非平衡系におけるフラクチュエーション・レスポンス関係を成立可能にするか？
• RQ3 粒子数が保存されないモデル（ASEPなど）において、標準的なアインシュタイン関係 $\mu = \beta \Delta$ が維持されるか？
• RQ4 境界駆動系において、関係式 $\Delta = (2\alpha - 1)J + 2\alpha(1 - \alpha)\partial J / \partial \alpha$ が成立する条件は何か？
• RQ5 すべての配置が粒子数セクター内で等確率であるようなモデルにおいて、アインシュタイン関係を導出できるか？

主な発見

• 詳細なバランスを満たすすべての定常状態において、ホッピングダイナミクスに結合する摂動を用いてアインシュタイン関係が成立する。
• 非対称単純排他過程（ASEP）において、粒子の生成・消滅を伴う摂動を用いて一般化アインシュタイン関係を導出でき、$\Omega = \Lambda_N Z_{N,M}^{-2}$ である。
• 駆動型デュマー拡散モデルにおいても、同じ摂動スキームのもとで一般化アインシュタイン関係が成立し、$\Omega = \Lambda_N Z_{N-1,M-1}^{-1} Z_{N,M}^{-1}$ である。
• 境界駆動型ASEPにおいて、$\alpha + \beta = 1$ の直線上で、関係式 $\Delta = (2\alpha - 1)J + 2\alpha(1 - \alpha)\partial J / \partial \alpha$ が確立され、拡散と電流応答を結びつける。
• 導出は、各粒子数セクター内でのすべての配置が定常状態で等確率であるという仮定に依存しており、これにより応答関数 $r(\mathcal{C})$ が単純化される。
• 本研究は、アインシュタイン関係が平衡状態を超えて一般化可能であることを示唆しているが、各粒子数セクター内での配置の均一性といった特定の構造的条件を満たす場合に限る。