[論文レビュー] Einstein's vierbein field theory of curved space

Jeffrey Yepez|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、ビアイン（vierbein）を計量テンソルの平方根として用いる一般相対性理論のゲージ理論的定式化として、アインシュタイン1928年のビアイン場理論を提示する。テトラッドの仮説を介してスピン接続を導入することで、曲がった時空におけるディラック方程式を一貫して導出でき、スピン場の正しい共変微分が得られ、曲がった時空における相対論的量子場理論の自然な枠組みが提供される。

ABSTRACT

General Relativity theory is reviewed following the vierbein field theory approach proposed in 1928 by Einstein. It is based on the vierbein field taken as the "square root" of the metric tensor field. Einstein's vierbein theory is a gauge field theory for gravity; the vierbein field playing the role of a gauge field but not exactly like the vector potential field does in Yang-Mills theory--the correction to the derivative (the covariant derivative) is not proportional to the vierbein field as it would be if gravity were strictly a Yang-Mills theory. Einstein discovered the spin connection in terms of the vierbein fields to take the place of the conventional affine connection. To date, one of the most important applications of the vierbein representation is for the derivation of the correction to a 4-spinor quantum field transported in curved space, yielding the correct form of the covariant derivative. Thus, the vierbein field theory is the most natural way to represent a relativistic quantum field theory in curved space. Using the vierbein field theory, presented is a derivation of the the Einstein equation and then the Dirac equation in curved space. Einstein's original 1928 manuscripts translated into English are included.

研究の動機と目的

• ビアイン形式を用いた重力作用の変分原理に基づき、アインシュタインの場の運動方程式を再導出すること。
• ビアインとスピン接続を用いて共変微分を一般化することで、曲がった時空におけるディラック方程式の一貫した定式化を確立すること。
• 1928年のアインシュタインの原典を初回として英語に翻訳・提示し、歴史的・理論的文脈を保持すること。
• ビアイン形式が重力と相対論的量子場理論を自然に統合できること、特にカイラルな物質に対してその有効性を示すこと。
• ビアインに基づく重力理論とヤン・ミルズのゲージ理論との違いを明確にし、スピン接続の非アーベル的構造に焦点を当てる。

提案手法

• 計量テンソル $g_{\nu\beta} = e_{\nu}^a e_{\beta}^b \text{diag}(1,-1,-1,-1)$ の平方根としてのビアイン場 $e_{\nu}^a$ を用いて一般相対性理論を形式化する。
• テトラッドの仮説 $\nabla_\mu e_\nu^a = 0$ を介してスピン接続 $\omega_{\mu}^{ab}$ を導入し、接続をアフィン接続に置き換える。
• 共変微分の交換子を用いてスピン接続からリーマン曲率テンソルを導出する。
• ビアイン場の関数として重力作用を構成し、変分法を用いてアインシュタイン方程式を導出する。
• 局所ローレンツ不変性を適用し、スピン接続とガンマ行列を組み合わせてスピン場の共変微分を導出する。
• 恒等式 $\{e^{\mu}_a \gamma^a, e^{\nu}_b \gamma^b\} = 2g^{\mu\nu}$ を用いて、ビアインと曲がった空間におけるディラック方程式との整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビアイン形式を用いた変分原理からアインシュタインの場の運動方程式をどのように導出できるか？
• RQ2 曲がった時空におけるディラックスピン場の共変微分の正しい形は何か？ そして、局所ローレンツ不変性からどのように導出されるか？
• RQ3 アインシュタイン1928年のビアイン理論は、標準的一般相対性理論およびヤン・ミルズのゲージ理論とどのように異なるか？
• RQ4 スピン接続は、ビアインと時空の曲率をどのように関係付けるか？
• RQ5 ビアイン形式は、曲がった時空における相対論的量子場理論の自然な枠組みをどのように提供するか？

主な発見

• 曲がった時空におけるスピン場の共変微分の正しい形は、$\mathcal{D}_\mu \psi = \left(\partial_\mu + \frac{1}{2} e^{\beta}_k \partial_\mu e_{\beta h} S^{hk} \right) \psi$ である。
• スピン接続 $\omega_{\mu}^{ab}$ は、テトラッドの仮説 $\nabla_\mu e_\nu^a = 0$ から導出され、局所ローレンツ不変性と整合的である。
• リーマン曲率テンソルは、アフィン接続またはスピン接続の両方から同等に表現でき、整合性が確認される。
• ビアイン作用からアインシュタイン方程式を導出することで、ビアインがゲージ理論的重力理論における基本的場であることが裏付けられる。
• 恒等式 $\{e^{\mu}_a \gamma^a, e^{\nu}_b \gamma^b\} = 2g^{\mu\nu}$ により、曲がった空間におけるディラック方程式が計量構造と整合的であることが保証される。
• これまで翻訳がなかったアインシュタイン1928年の原典が、英語に翻訳され、彼の遠隔平行性および計量テンソルの平方根としてのビアインへの基礎的洞察が明らかにされた。