[論文レビュー] Eisenstein Cohomology for GL(N) and ratios of critical values of Rankin-Selberg L-functions

Günter Harder, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、EisensteinコホモロジーとLanglandsの定数項定理を用いて、nn′ が偶数のとき、全実体 F 上の GL(n) × GL(n′) に対するRankin-Selberg L関数の連続する臨界値の比の有理性を確立する。主な貢献は、相対周期を補正した上で、このような比が有理数であることを示したことである。これは、以前の結果を一般の全実体および偶数 n, n′ にまで拡張するものである。

ABSTRACT

The aim of this article is to study rank-one Eisenstein cohomology for the group GL(N)/F, where F is a totally real field extension of Q. This is then used to prove rationality results for ratios of successive critical values for Rankin-Selberg L-functions for GL(n) x GL(n') over F with the parity condition that nn' is even. The key idea is to interpret Langlands's constant term theorem in terms of Eisenstein cohomology.

研究の動機と目的

• nn′ が偶数のとき、全実体 F 上の GL(n) × GL(n′) に対するRankin–Selberg L関数の臨界値比の有理性結果を一般化すること。
• 以前は Q 上で n が偶数で n′ が奇数の場合に発表されていた結果を、n と n′ がともに偶数の場合にまで拡張すること。
• Eisensteinコホモロジーと境界コホモロジーを用いた、L関数の特殊値を分析するためのコホモロジー的枠組みを確立すること。
• Langlandsの定数項定理をEisensteinコホモロジーの観点から解釈し、L値の算術的性質を導出すること。
• Borel–Serreコンパクト化された局所対称空間の境界の強内コホモロジーの文脈で、相対周期を定義し、それらを分析すること。

提案手法

• 全実体 F 上の GL(N) におけるEisensteinコホモロジーを、アデール的局所対称空間 S^G_{K_f} のBorel–Serreコンパクト化を用いて扱う。
• Poincaré双対性を適用し、境界コホモロジー内に最大の自己同型部分空間を同定することで、Eisensteinコホモロジー類を特定する。
• 境界コホモロジーに収束するスペクトル系列を用い、個々の境界ストラトゥムおよび残余コホモロジー成分のコホモロジーを分析する。
• 強内スペクトルを用いて相対周期を定義し、コホモロジー的道具立てを通じてそれらを臨界L値に関連付ける。
• Langlandsの定数項定理を適用し、Eisenstein級数の分解を行い、その留数をコホモロジー的データに関連付ける。
• ドミナント重みとWeyl群作用に関する組合せ論的補題を用い、L関数の臨界点を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nn′ が偶数のとき、全実体 F 上の GL(n) × GL(n′) に対するRankin-Selberg L関数の連続する臨界値が、どのような条件下で有理数となるか？
• RQ2 Eisensteinコホモロジーは、Eisenstein級数の留数とL関数の特殊値とをどのように関連付けることができるか？
• RQ3 コホモロジー的設定において、相対周期は臨界L値比の有理性にどのような役割を果たすか？
• RQ4 特定の重みについて、Weyl群のドミナント像が存在しないと、その誘導表現が境界コホモロジーに現れない理由は何か？
• RQ5 境界コホモロジーの構造と、そのカスプ的、可積分的、Eisenstein的成分への分解は、L関数の特殊値の研究をどのように促進するか？

主な発見

• 全実体 F 上の GL(n) × GL(n′) に対するRankin-Selberg L関数 L(s, σ × σ′) の連続する臨界値比は、相対周期を除いた後で有理数である。
• n と n′ がともに偶数のとき、臨界点 s = −N/2 および s = 1 − N/2 が臨界点であるための必要十分条件は、無限遠点での局所L因子が特定の非消滅および正則性条件を満たすことである。
• コホモロジー的L関数 L(s, σ × σ′) が s = m で正則であるための必要十分条件は、指数 ℓ_i および ℓ′_j に対する条件 (7.64) と (7.65) が満たされることである。
• μ ⊗ μ′ がねじれWeyl作用の下でドミナントな像を持たないことは、GL(N) の境界コホモロジーにそのような誘導表現が現れないことを意味し、特定のコホモロジー的類の存在を妨げる。
• 境界の強内コホモロジーが非自明である限り、相対周期は適切に定義され、有限であるため、L値比の有理性が保証される。
• Eisensteinコホモロジーの理論とLanglandsの定数項定理を組み合わせることで、Eisenstein級数の留数のコホモロジー的解釈が得られ、それが臨界点におけるL値と関連づけられる。