[論文レビュー] Eisenstein Cohomology for GL(N) and ratios of critical values of Rankin-Selberg L-functions - I

Günter Harder, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、全実体 F 上の GL(n) × GL(n') に対するランキン＝セルバーグ L 関数の連続する臨界値の比の有理性を、GL(N)/F におけるランク1のイーゼンスタインコホロロジーを分析し、ラングランズの定数項定理をコホロロジー的言語で解釈することによって、nn' が偶数のとき確立する。このアプローチにより、特別な L 値とその算術的意義を理解するためのコホロロジー的枠組みが提供される。

ABSTRACT

The aim of this article is to study rank-one Eisenstein cohomology for the group GL(N)/F, where F is a totally real field extension of Q. This is then used to prove rationality results for ratios of successive critical values for Rankin-Selberg L-functions for GL(n) x GL(n') over F with the parity condition that nn' is even. The key idea is to interpret Langlands's constant term theorem in terms of Eisenstein cohomology.

研究の動機と目的

• Q における全実体拡張 F としての GL(N)/F におけるランク1のイーゼンスタインコホロロジーを研究すること。
• 全実体 F 上の GL(n) × GL(n') に対するランキン＝セルバーグ L 関数の連続する臨界値の比の有理性を確立すること。
• ラングランズの定数項定理をイーゼンスタインコホロロジーの観点から解釈し、算術的応用を可能にする。
• nn' が偶数であるという偶性条件を用いて、L 関数の特別値のコホロロジー的解釈を提供すること。
• コホロロジー的手法を用いて、自動形式 L 関数の算術を理解するための基盤的ツールを構築すること。

提案手法

• 放物型誘導の構造を用いて、GL(N)/F におけるランク1のイーゼンスタインコホロロジー類を分析すること。
• ラングランズの定数項定理を適用し、放物部分群を介してイーゼンスタイン級数を定数項に分解すること。
• コホロロジー的技術を用いて、イーゼンスタイン級数のコホロロジー的実現を通じて自動形式と L 値を関連させること。
• 全実体の文脈における自動形式 L 関数およびその関数等式の理論を用いること。
• コホロロジー的周期と特別な L 値を比較することで、臨界値の比の有理性を確立すること。
• nn' が偶数である偶性条件を用いて、L 関数理論における関数等式および符号条件との整合性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(N)/F におけるイーゼンスタインコホロロジーは、ランキン＝セルバーグ L 関数の特別値をどのように研究できるか？
• RQ2 イーゼンスタイン級数の文脈において、ラングランズの定数項定理のコホロロジー的解釈は何か？
• RQ3 nn' が偶数である偶性条件は、L 関数の臨界値の比の有理性にどのように影響するか？
• RQ4 イーゼンスタインコホロロジー類の周期にどのような算術的情報が符号化されているか？
• RQ5 コホロロジー的手法は、連続する臨界値の比の有理性をどのように明らかにするか？

主な発見

• この論文は、nn' が偶数のとき、全実体 F 上の GL(n) × GL(n') に対するランキン＝セルバーグ L 関数の連続する臨界値の比が有理数であることを証明する。
• 有理数性の結果は、GL(N)/F におけるランク1のイーゼンスタインコホロロジーに基づくコホロロジー的枠組みを通じて確立される。
• ラングランズの定数項定理は、自動形式と L 値を結びつけるためにコホロロジー的言語に再解釈される。
• この方法により、L 関数の算術とイーゼンスタインコホロロジー類の構造を系統的に関連付ける手段が得られる。
• 結果は、全実基底体の仮定の下で、任意の n と n' に対して、nn' が偶数である場合に、以前の有理数性結果を拡張する。
• コホロロジー的アプローチにより、数体上の自動形式表現の文脈における L 関数の特別値について、新たな視点が提供される。