[論文レビュー] Eisenstein-Kronecker classes, integrality of critical values of Hecke $L$-functions and $p$-adic interpolation

Guido Kings, Johannes Sprang|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意の完全複素数体上の代数的ヘッケキャラクターに対するヘッケL関数の臨界値の整数性を、CMアーベル・スキームのコホモロジーにおけるG-不変な整合的エイゼンスタイン＝クロネッカー類の構成により確立する。これらの類とピ-進的Poincaréバンドルの自明化を用いて、通常の場合に臨界L値を補間するp-進測度を構成し、ダマレル、シムーラ、カッツの古典的結果をすべての完全複素体に一般化する。

ABSTRACT

We show that for an arbitrary totally complex number field $L$ the (regularized) critical $L$-values of algebraic Hecke characters of $L$ divided by certain periods are algebraic integers. This relies on a new construction of an equivariant coherent cohomology class with values in the completion of the Poincaré bundle on an abelian scheme $\cal{A}$. From this we obtain a cohomology class for the automorphism group of a CM abelian scheme $\cal{A}$ with values in some canonical bundles, which can be explicitly calculated in terms of Eisenstein-Kronecker series. As a further consequence, using an infinitesimal trivialization of the Poincaré bundle, we construct a $p$-adic measure interpolating the critical $L$-values in the ordinary case. This generalizes previous results for CM fields by Damerell, Shimura and Katz and settles the algebraicity and $p$-adic interpolation in the remaining open cases of critical values of Hecke $L$-functions.

研究の動機と目的

• 任意のCM体の有限拡大上におけるヘッケキャラクターの臨界L値の整数性という未解決問題を解決すること。
• カッツの結果をCM体からすべての完全複素数体へp-進補間を一般化すること。
• コホモロジー的技法を用いて、通常の場合の臨界値を補間するp-進測度を構成すること。
• G-不変な整合的エイゼンスタイン＝クロネッカー類を通じて、臨界L値の均一なコホモロジー的枠組みを提供すること。
• 任意の完全複素体の設定において、臨界L値の弱いデリーニュ予想を確立すること。

提案手法

• エイゼンスタイン＝クロネッカー級数を用いて、アーベル・スキーム上のPoincaréバンドルの完成化値をとるG-不変な整合的コホモロジー類を構成する。
• L関数の特別値と周期を用いて、G-不変な整合的エイゼンスタイン＝クロネッカー類を明示的に計算する。
• Poincaréバンドルの無限小的自明化を用いて、サイクロトミックZ_p拡大のガロア群上のp-進測度を定義する。
• G-不変なコホモロジーのためのスペクトル系列を適用し、群コホモロジーと不変関手の導来関手を関連付ける。
• 位相的および代数的G-不変コホモロジーの比較を活用して、商空間E ×_Γ Xのコホモロジーを計算する。
• ヘッケキャラクターがガロア群上で作用する様子を解析し、それらをL値に一致させることで、p-進測度の補間性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の完全複素数体上における代数的ヘッケキャラクターのヘッケL関数の臨界値は、適切な周期で正規化された場合、代数的整数であるか？
• RQ2 任意の完全複素体に対して、通常の場合のヘッケキャラクターの臨界L値を補間するp-進測度を構成可能か？
• RQ3 エイゼンスタイン＝クロネッカー類は、異なるCMおよび非CM体における特別L値のコホモロジー的構成を統一的に扱うためにどのように利用可能か？
• RQ4 正則化L値の正確な整数性条件は、判別式、導子、周期を用いてどのように記述できるか？
• RQ5 p-進測度の構成はCM体を越えて成立するか？その場合、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 正規化された臨界L値$L(\chi,0)$は、周期$\Omega^\alpha \Omega^{\vee\beta}$を用いて、$d_L \mathfrak{f} N(\mathfrak{c})$を割る素数を逆数にした後、数体$k$における代数的整数である。
• この整数性結果は、CM体に限らず、CM体の任意の有限拡大$L$における代数的ヘッケキャラクターについて成り立ち、ダマレル、シムーラ、カッツの結果を一般化する。
• すべてのヘッケキャラクターの正規化臨界L値を補間するp-進測度$\mu_{\mathscr{O}_L}$が存在し、すべての臨界点で補間性質を満たす。
• 関数方程式に依存しないため、カッツの方法とは異なり、すべての臨界値を同時に取り扱える。
• G-不変な整合的エイゼンスタイン＝クロネッカー類を通じて、非CM体に対しても有効な均一なコホモロジー的枠組みを提供する。
• この結果により、任意の完全複素体において、臨界L値の弱いデリーニュ予想が確認され、ブラシウスの定理が拡張される。