[論文レビュー] Eisenstein series with non-unitary twists

Anton Deitmar, Frank Monheim|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、PSL(2,R) 内の非ユニタリだがカスプユニタリな表現による、フクシアン群のイーゼンスタイン級数の収束性とメロモルフィックな拡張を確立する。不変積分作用素とカスプ形式上のスペクトル論を活用することで、このようなイーゼンスタイン級数が複素平面全体にメロモルフィックに拡張可能であり、関数方程式を満たすことを証明し、非コンパクトな商へのトレース公式の技法を拡張する。

ABSTRACT

It is shown that for a non-unitary twist of a Fuchsian group, which is unitary at the cusps, Eisenstein series converge in some half-plane. It is shown that invariant integral operators provide a spectral decomposition of the space of cusp forms and that Eisenstein series admit a meromorphic continuation.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな商 Γ\G に対してトレース公式の技法を拡張することを目的とし、非ユニタリな歪みを伴うイーゼンスタイン級数を研究すること。
• 表現が放物型元上でユニタリ（カスプでユニタリ）であるという条件下で、イーゼンスタイン級数の収束性を確立すること。
• 不変積分作用素がカスプ形式の空間のスペクトル分解を提供することを示すこと。
• イーゼンスタイン級数のメロモルフィックな拡張を証明し、その関数方程式を導出すること。

提案手法

• フクシアン群における語表現の幾何的推定を用いて、歪み付き行列ノルムの成長を制御する。
• 歪み付き作用を伴う自動形式の空間に自然なヒルベルト空間構造を定義する。
• 不変積分作用素を用いて、スペクトル論によりカスプ形式の空間を分解する。
• 擬微分作用素論からのスムージング作用素技法と積分作用素のフレドホルム理論を用いて、リゾルベントを分析する。
• 点ごとのカーネル推定を作用素ノルムの境界に置き換え、L2(Γ\H, χ) 上のベクトル値カーネルを扱う。
• 差分 F(s,z) = E(z,s,χ) − Φ(s)E(z,1−s,χ) を分析することでイーゼンスタイン級数の関数方程式を導出し、スペクトル的矛盾によりこれが恒等的に消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトなフクシアン商に対して、非ユニタリな歪みを伴うイーゼンスタイン級数が収束する条件は何か？
• RQ2 非ユニタリな歪みのもとで、不変積分作用素を用いてカスプ形式の空間をスペクトル的に分解できるか？
• RQ3 歪みがカスプでユニタリであるとき、イーゼンスタイン級数は複素平面全体にメロモルフィックに拡張可能か？
• RQ4 歪み付きイーゼンスタイン級数の関数方程式の構造は何か？また、定数項フーリエ展開とはどのように関係するか？
• RQ5 非ユニタリ表現の文脈において、ベクターバンドル値カーネルに対する積分作用素のスペクトル論はどのように拡張可能か？

主な発見

• 非ユニタリだがカスプユニタリな歪みを伴うイーゼンスタイン級数は、放物型元上で表現がユニタリである限り、ある半平面上で収束する。
• カスプ形式の空間はすべての不変積分作用素に対して安定であり、これによりその作用素によるスペクトル分解が可能である。
• イーゼンスタイン級数は複素平面全体にメロモルフィックに拡張可能であり、孤立した点以外に極をもたない。
• ベクトル値イーゼンスタイン級数は関数方程式 E(z,s,χ) = Φ(s)E(z,1−s,χ) を満たす。ここで Φ(s) はメロモルフィックな行列値関数である。
• Φ(s) の行列式は消えないため、関数方程式は正しく定義され、退化していない。
• リゾルベントの差における積分カーネルの特異性は消えるため、コンパクト作用素論を用いた解析的拡張の証明に利用可能である。