[論文レビュー] Elastic cloaking theory

Andrew N. Norris, A. L. Shuvalov|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2011

Structural Analysis and Optimization参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿は線形異方性弾性の一般化された変換理論を構築し、変換行列とゲージ行列によって定義される非一意な材料特性を用いて弾性クローキングを実現可能であることを示している。主な貢献は、変換行列とは独立にゲージ行列を選択することにより、等方的密度および対称応力を持つ好ましい近似材料を特定し、Willis型材料にとらわれない実用的な設計を可能にしたことにある。

ABSTRACT

The transformation theory of optics and acoustics is developed for the equations of linear anisotropic elasticity. The transformed equations correspond to non-unique material properties that can be varied for a given transformation by selection of the matrix relating displacements in the two descriptions. This gauge matrix can be chosen to make the transformed density isotropic for any transformation although the stress in the transformed material is not generally symmetric. Symmetric stress is obtained only if the gauge matrix is identical to the transformation matrix, in agreement with Milton et al. (2006). The elastic transformation theory is applied to the case of cylindrical anisotropy. The equations of motion for the transformed material with isotropic density are expressed in Stroh format, suitable for modeling cylindrical elastic cloaking. It is shown that there is a preferred approximate material with symmetric stress that could be a useful candidate for making cylindrical elastic cloaking devices.

研究の動機と目的

• Willis型材料フレームワークに縛られることなく、変換弾性理論を拡張し、対称応力を強制するが材料設計の柔軟性を制限する既存の枠組みを越えること。
• 既存のクローキングモデルに見られる等方的密度の欠如が、受け入れがたい高い全質量を引き起こすという問題を解決すること。
• 円柱型弾性クローキングに適した、等方的密度および対称応力を有する実用的で近似可能な材料を同定すること。
• 変換された弾性波の数値的モデリングのためのStroh形式に基づくフレームワークを提供すること。
• 変換された弾性材料と事前に応力がかかる超弾性材料における増分運動との関係を探索し、物理的実装の可能性を示唆すること。

提案手法

• 変形勾配Fとゲージ行列Aを用いた変数変換アプローチにより、線形異方性弾性の変換された運動方程式を導出する。
• 変換と応力対称性条件を分離するためのゲージ行列Aを導入し、密度および応力テンソルの性質を独立して制御可能にする。
• FとAを用いて変換された物性方程式を表現し、A = Fでない限り、非等方的密度および非対称（コッサール型）応力を有する。
• 径方向変換r(R)を用いた円対称性に適用し、効率的な数値解法が可能なStroh形式に方程式を表現する。
• A = I（単位行列）とすることで、等方的密度を達成するとともに、対称応力近似を維持する。
• 得られた材料モデルは厳密にはWillis型ではないが、最小限の質量と現実的な機械的性質を有するため、弾性クローキングの実用的候補として有効であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等方的密度を維持しつつ対称応力を保つことで、過去の設計における高い質量ペナルティを回避できるか？
• RQ2 ゲージ行列Aは、変換された弾性媒体の材料特性を決定する上で果たす役割は何か？また、応力対称性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 等方的密度および対称応力を有する物理的に実現可能な近似材料は存在するか？そのような材料は円柱型弾性クローキングに利用可能か？
• RQ4 変換された弾性波の運動方程式を円柱型幾何形状で効率的にモデリングするにはどうすればよいか？
• RQ5 非対称応力を持つ変換コッサール型材料は、対称応力および等方的密度を有する標準的弾性材料に近似可能か？

主な発見

• 変換された弾性材料の物性は、変換行列Fとゲージ行列Aの両方に依存し、同じ変換に対しても非一意な材料応答が得られる。
• ゲージ行列Aを単位行列（A = I）に設定すると、密度が等方的となり、過去の設計と比較して全質量が顕著に低減される。
• 対称応力はA = Fのときのみ達成可能であり、これはWillis材料モデルに対応する。それ以外の場合は非対称応力となり、コッサール型弾性に対応する。
• 円柱型クローキングにおいて、等方的密度および対称応力を有する好ましい近似材料が特定され、A = Iとしつつ剛性の変換由来の異方性を保持することで導出された。
• 変換された材料の運動方程式はStroh形式に表現されており、波の散乱解析に向けた効率的な数値実装が可能である。
• 形式的枠組みにより、変換された弾性パrameterと事前に応力がかかる超弾性材料における増分モジュラスの間の正式な同等性が明らかになり、物理的実装への道筋が示唆された。