[論文レビュー] Elastic theory of low-dimensional continua and its applications in bio- and nano-structures

Z. C. Tu, Z. C. Ou-Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2007

Advanced Materials and Mechanics被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、カルタンの移動標構法を用いて、1次元および2次元連続体の統一的弾性理論を構築し、下からの力・モーメントのバランスと上からのエネルギー変分の両アプローチから一貫性のある方程式を導出する。これらの枠組みが等価であることを示し、DNAリング、リピッド膜、細胞膜、グラフェン、カーボンナノチューブのモデル化に応用する。膜骨格の存在によりバイオ膜の機械的安定性が向上することを明らかにし、2次元ナノ材料における議論の多い材料パラメータを回避する。

ABSTRACT

This review presents the elastic theory of low-dimensional (one- and two-dimensional) continua and its applications in bio- and nano-structures. First, the curve and surface theory, as the geometric representation of the low-dimensional continua, is briefly described through Cartan moving frame method. The elastic theory of Kirchhoff rod, Helfrich rod, bending-soften rod, fluid membrane, and solid shell is revisited. Secondly, the application and availability of the elastic theory of low-dimensional continua in bio-structures, including short DNA rings, lipid membranes, and cell membranes, are discussed. The kink stability of short DNA rings is addressed by using the theory of Kirchhoff rod, Helfrich rod, and bending-soften rod. The lipid membranes obey the theory of fluid membrane. A cell membrane is simplified as a composite shell of lipid bilayer and membrane skeleton, which is a little similar to the solid shell. It is found that the membrane skeleton enhances highly the mechanical stability of cell membranes. Thirdly, the application and availability of the elastic theory of low-dimensional continua in nano-structures, including graphene and carbon nanotubes, are discussed. A revised Lenosky lattice model is proposed based on the local density approximation. Its continuum form up to the second order terms of curvatures and strains is the same as the free energy of 2D solid shells. Several typical mechanical properties of carbon nanotubes are revisited and investigated based on this continuum form. It is possible to avoid introducing the controversial concepts, the Young's modulus and thickness of graphene and single-walled carbon nanotubes, with this continuum form.

研究の動機と目的

• カルタンの移動標構法を用いて、1次元ロッドおよび2次元膜・シェルの弾性理論に幾何学的かつ変分的基盤を確立すること。
• 下からのアプローチ（ニュートン的力・モーメントのバランス）と上からのアプローチ（自由エネルギーからの変分原理）という2つの異なる導出経路を統合し、主要なモデルにおいてそれらが等価であることを証明すること。
• 短いDNAリング、リピッド膜、細胞膜を含む生物学的系に理論を適用し、機械的安定性および形状遷移を説明すること。
• グラフェンやカーボンナノチューブのようなナノ構造へと枠組みを拡張し、ヤング率や厚さといった曖昧なパラメータを必要としない連続体モデルを提供すること。
• 細胞膜における膜骨格が、複合シェルモデルを通じて機械的安定性を顕著に向上させることを示すこと。

提案手法

• 曲線および曲面を幾何学的に記述するためのカルタンの移動標構法を用い、弾性に不可欠な曲率および接続形式を導出する。
• 対称性の原則に基づいて自由エネルギー密度を構築し、ロッドおよび膜に適した曲率依存項、曲げ、伸縮を含む項を組み込む。
• 2つの補完的アプローチにより基本方程式を導出する：(1) 自由エネルギーから得られる物性関係を用いたニュートン的力およびモーメントのバランス、(2) 総自由エネルギー汎関数の直接的な変分。
• ストークスの定理および微分幾何学的恒等式を用いて、膜およびロッドの形状方程式および境界条件を導出する。
• グラフェンのための修正されたLenosky格子モデルを提案し、2次までの曲率およびひずみ項までを含む連続体極限が2次元固体シェルのエネルギー形と一致することを示す。
• 導出された連続体モデルを用いて、ヤング率や厚さといった未定義の材料パラメータに依存せずに、グラフェンおよびカーボンナノチューブの内在的粗さおよび機械的性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下からの力とモーメントのバランスと上からのエネルギー変分の両アプローチが、低次元連続体の弾性理論において等価な方程式を導くことができるか。また、その条件は何か。
• RQ2 膜骨格は細胞膜の機械的安定性にどのように寄与するか。その面内ひずみおよび形状安定性を記述する方程式は何か。
• RQ3 短いDNAリングの弾性挙動は、キルホッフ、ヘルフリッヒ、曲げ軟化ロッドモデルによってどの程度説明可能か。
• RQ4 閉じた膜および自由縁またはドメインを持つ開放型膜を含むリピッドバイスケルの形状および安定性は、曲率および境界条件にどのように依存するか。
• RQ5 ヤング率や厚さといった曖昧なパラメータを用いずに、グラフェンおよびカーボンナノチューブの連続体モデルを導出できるか。

主な発見

• ロッドおよび膜を含む多数の例を通じて、下からの力とモーメントのバランスと上からのエネルギー変分による弾性方程式の導出が数学的に等価であることが示された。
• 細胞膜における膜骨格は、面内ひずみおよび形状安定性を記述する導出式を通じて、安定化層としての役割を果たしており、変形に対する機械的抵抗を顕著に向上させている。
• 短いDNAリングにおけるキンク不安定性は、ヘルフリッヒロッドおよび曲げ軟化ロッドモデルによってよく記述されており、臨界曲げ角およびエネルギー障壁を予測している。
• リピッド膜は流動膜モデルに従い、閉じたバイスケル、自由縁を持つ開放型バイスケル、リピッドドメインを有するバイスケルの形状方程式および境界条件が完全に導出された。
• バイスケルと基板、または他のバイスケルとの接着性は、曲率とエネルギー最小化を用いて定量的にモデル化され、平衡配置が明らかになった。
• 修正されたLenosky格子モデルは、2次元固体シェルのエネルギー形と同一の連続体エネルギー形をもたらし、グラフェンの内在的粗さおよび機械的応答を、ヤング率や厚さを入力パラメータとせずにも正確に記述可能となった。