[論文レビュー] Electrode modelling: The effect of contact impedance

Stratos Staboulis, Jérémi Dardé|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2013

Electrical and Bioimpedance Tomography参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、接触インピーダンスがゼロに近づく際、電気インピーダンス断層画像法（EIT）における完全電極モデル（CEM）がシャントモデル（SM）にどのように収束するかを厳密に分析している。接触インピーダンスがゼロに近づくとき、電極電圧測定の誤差はほぼ線形（z^sのオーダー、s < 1）であり、空間ポテンシャルの誤差はz^sのオーダー（s < 1/2）であることが示された。有限要素近似では正則性が低下し、モデル間で収束速度が異なることが分かった。

ABSTRACT

The most realistic model for current-to-voltage measurements of electrical impedance tomography is the complete electrode model which takes into account electrode shapes and contact impedances at the electrode/object interfaces. When contact impedances are small, numerical instability can be avoided by replacing the complete model with the shunt model in which perfect contacts, that is zero contact impedances, are assumed. In the present work we show that using the shunt model causes only a (almost) linear error with respect to the contact impedances in modelling absolute current-to-voltage measurements. Moreover, we note that the electric potentials predicted by the two models exhibit genuinely different Sobolev regularity properties. This, in particular, causes different convergence rates for finite element approximation of the potentials. The theoretical results are backed up by two dimensional numerical experiments.

研究の動機と目的

• 接触インピーダンスが小さい場合に、シャントモデル（SM）が完全電極モデル（CEM）の安定近似として使用できることを厳密に裏付けること。
• 接触インピーダンスがゼロに近づく際のCEMに基づくEIT再構成における数値的不安定性の問題を解消すること。
• 特に有限要素近似において、CEMとSMの解の間の収束速度をSobolevノルムで確立すること。
• CEMとSMの解のSobolev正則性の違いを明確にし、これが有限要素法の収束速度に与える影響を明らかにすること。
• 理論的知見を2次元の数値実験により検証し、メッシュサイズおよび接触インピーダンスに関する収束速度を評価すること。

提案手法

• 接触インピーダンスz → 0のときのCEMからSMへの収束を証明するため、抽象的関数解析的枠組みを用いる。
• 双対性の議論を適用し、電極電圧測定のための改良された収束速度を導出する。
• 楕円型混合境界値問題の正則性理論を用いて、CEMおよびSMの解のSobolev正則性を定量的に評価する。
• Céaの補題と多項式補間を用いて、分(piecewise)線形有限要素近似の事前誤差推定を導出する。
• SMの部分空間射影解釈を用い、CEMとSMの解を関連づけ、誤差境界を導出する。
• 2次元の数値実験を実施し、電極測定におけるH^1、L^2、および作用素ノルムの理論的収束速度を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触インピーダンスzがゼロに近づくとき、完全電極モデル（CEM）はシャントモデル（SM）に収束するか？その収束速度は？
• RQ2 CEMとSMの解のSobolev正則性特性にはどのような違いがあり、これが有限要素法の収束に与える影響は？
• RQ3 CEMおよびSMの有限要素近似の収束速度は何か？また、それらはどのように比較できるか？
• RQ4 CEMをSMに置き換えた場合、電極電圧測定の誤差は接触インピーダンスに対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 なぜ有限要素法は、zが小さい場合にSMの解をCEMの解よりもより正確に近似できるのか？正則性との関係は？

主な発見

• CEMとSMの解のH^1誤差は、任意のs < 1/2に対してO(z^s)のオーダーであり、2次元の一般的な状況ではs = 1/2が最良の結果である。
• CEMとSMの間の電極電圧測定誤差はほぼ線形であり、任意のs < 1に対してO(z^s)のオーダーである。これはSMの部分空間射影構造に起因する。
• CEMの空間ポテンシャル解は、SMよりも高いSobolev正則性（s < 1/2に対してH^{1+s}）を示し、これが有限要素法の収束速度の違いを生じさせている。
• CEMの有限要素近似は、L^2およびH^1ノルムにおいてO(h^{1+2s})の収束速度を示すが、z → 0のとき定数が発散する。
• 有限要素法において、電極電圧は空間ポテンシャルよりも「対数的に2倍」正確に近似される。これは正則性のギャップに起因する。
• 数値実験により理論的収束速度が確認され、zが小さい場合にSMが電極電圧をCEMよりもより正確に近似することが示された。