[論文レビュー] Electromagnetic Stekloff eigenvalues: existence and behavior in the selfadjoint case

Martin Halla|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自己共役の場合における電磁ステクロフ固有値問題の完全なスペクトル構造を確立し、無限個の固有値の2つの列の存在を証明する。1つは正の無限大に集積するもので、もう1つは負のゼロに集積するものであり、本質的スペクトルに含まれる唯一の点はゼロである。解析では、ブロック作用素分解とシュール補行列技術を用い、固定点法による固有値の存在を証明する。

ABSTRACT

In [Camano, Lackner, Monk, SIAM J. Math. Anal., Vol. 49, No. 6, pp. 4376-4401 (2017)] it was suggested to use Stekloff eigenvalues for Maxwell equations as target signature for nondestructive testing via inverse scattering. The authors recognized that in general the eigenvalues due not correspond to the spectrum of a compact operator and hence proposed a modified eigenvalue problem with the desired properties. The Fredholmness and the approximation of both problems were analyzed in [Halla, arXiv:1909.00689 (2019)]. The present work considers the original eigenvalue problem in the selfadjoint case. We report that apart for a countable set of particular frequencies, the spectrum consists of three disjoint parts: The essential spectrum consisting of the point zero, an infinite sequence of positive eigenvalues which accumulate only at infinity and an infinite sequence of negative eigenvalues which accumulate only at zero. The analysis is based on a representation of the operator as block operator. For small/big enough eigenvalue parameter the Schur-complements with respect to different components can be build. For each Schur-complement the existence of an infinite sequence of eigenvalues is proved via a fixed point technique similar to [Cakoni, Haddar, Applicable Analysis, 88:4, 475-493 (2009)]. The modified eigenvalue problem considered in the above references arises as limit of one of the Schur-complements.

研究の動機と目的

• 電磁ステクロフ固有値問題の自己共役の場合における完全なスペクトル的特徴付けを提供すること。
• コンパクト性を欠くため、古典的固有値理論に含まれない元のステクロフ固有値問題のフレドホルム性およびスペクトル的性質を解明すること。
• 先行研究で提唱された元の問題と修正された問題との間の関係を明確にすること。
• ゼロが本質的スペクトルに含まれる唯一の点であることを証明し、正の無限大に集積する無限個の固有値列と、ゼロに集積する無限個の負の固有値列の存在を確立すること。

提案手法

• 問題は、基礎となる作用素のブロック作用素分解を用いて解析され、シュール補行列技術の適用が可能になる。
• スペクトルパラメータλが大きい場合、非発散成分に関するシュール補行列が構成され、CakoniとHaddar（2009）に類似した固定点法により解析される。
• λが小さい場合、勾配成分に関するシュール補行列が解析され、ゼロに集積する負の固有値の存在が導かれる。
• 作用素関数A_X(λ)が、λ ≠ 0である場合に限りフレドホルム的であることが示され、そのスペクトルが実数であることが証明される。
• μおよびεに関する最小限の仮定の下で、H(curl)およびトレース空間に対する適応された正則性および埋め込み結果に依拠する。
• 修正された固有値問題は、λが大きい場合の元の問題の漸近的極限として現れるが、非自明な漸近的固有値挙動は得られていない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁ステクロフ固有値問題の自己共役の場合における完全なスペクトル構造は何か？
• RQ2 なぜ元のステクロフ固有値問題はコンパクトでないのか。その影響はスペクトル的性質にどのように現れるか？
• RQ3 Camanoら（2017）で提唱された元の問題と修正された問題とのスペクトルの関係は何か？
• RQ4 作用素論的技法を用いて、正および負の無限個の固有値列の存在を厳密に証明できるか？
• RQ5 シュール補行列は、λ = 0およびλ = ∞の近傍におけるスペクトル的挙動の解析において果たす役割は何か？

主な発見

• 電磁ステクロフ固有値問題のスペクトルは、3つの互いに素な部分から成る：本質的スペクトル{0}、正の無限大にのみ集積する無限個の正の固有値列、ゼロにのみ集積する無限個の負の固有値列。
• λがゼロに近いとき、c₀ > 0が存在して、(0, c₀) にスペクトルが存在しないことが保証され、ゼロに集積する無限個の負の固有値列が存在することが証明される。
• λが無限大に近いとき、c∞ > 0が存在して、(−∞, −c∞) にスペクトルが存在しないことが保証され、+∞に集積する無限個の正の固有値列が確立される。
• 修正された固有値問題は、λが大きい場合の元の問題の漸近的極限として現れるが、非自明な漸近的固有値挙動は得られていない。
• 元の問題は修正されたバージョンよりも豊かなスペクトル的情報を提供しており、逆散乱応用において潜在的な利点があると考えられる。
• 固有値問題はH(curl)分解の下で分解可能であり、非発散成分および勾配成分の別個の解析がシュール補行列を介して可能になる。