[論文レビュー] Electronic Implementation of the Mackey-Glass Delayed Model

Pablo Amil, Cécilia Cabeza+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、時間遅れを正確に実装するスイッチドキャパシターフィルタと、乗算器ベースの非線形関数ブロックを用いて、マッキー・グラス遅れ微分方程式の新しい電子回路実装を提示する。回路の離散的時間発展方程式は、元の連続的時間モデルに非常に近いものであり、時間遅れを変化させた周期的、周期倍増、カオス的領域において、実験データ、シミュレーション、有効回路方程式の間で良好な一致が得られている。

ABSTRACT

The celebrated Mackey-Glass model describes the dynamics of physiological extit{delayed} systems in which the actual evolution depends on the values of the variables at some extit{previous} times. This kind of systems are usually expressed by delayed differential equations which turn out to be infinite-dimensional. In this contribution, an electronic implementation mimicking the Mackey-Glass model is proposed. New approaches for both the nonlinear function and the delay block are made. Explicit equations for the actual evolution of the implementation are derived. Simulations of the original equation, the circuit equation, and experimental data show great concordance.

研究の動機と目的

• 時間遅れダイナミクスの実験的検討を可能にする、安定的かつ高精度なマッキー・グラス遅れ微分方程式の電子アナログ回路の開発を目的とする。
• アナログ素子を用いて非線形フィードバック関数と時間遅れを正確にモデル化することで、先行研究の制限を克服することを目的とする。
• 元の連続的時間系の挙動を正確に反映する、回路の正確な離散的時間発展方程式の導出を目的とする。
• 実験データ、元の式の数値シミュレーション、導出された回路方程式のシミュレーションを直接比較することで、回路の妥当性を検証することを目的とする。
• 時間遅れ系におけるカオスや周期倍増といった複雑なダイナミクスのより深い実験的考察を可能とする。

提案手法

• 変数スケーリング $ x = P/\Theta $ および $ t' = \gamma t $ を用いて、マッキー・グラス方程式をパrameterを減らした次元なし形式に変換する。
• 時間遅れブロックはスイッチドキャパシターフィルタを用いて実装され、安定的かつ調整可能な遅れを提供し、回路発展方程式の正確な導出を可能にする伝達関数を持つ。
• 非線形項 $ \alpha x_\Gamma / (1 + x_\Gamma^n) $ はアナログ乗算器と除算器を用いて実装され、指数 $ n $ の正確な制御が可能になる。
• ノイズを最小限に抑えて実験的測定の信号忠実度を向上させるために、非線形性ブロックを遅延ブロックよりも前に配置する特定のブロック順序を採用する。
• 有効な回路発展は離散的時間写像として導出され、方程式 $ v_{j+1} = v_j e^{-T_s / (RC)} + (1 - e^{-T_s / (RC)}) \beta \frac{v_{j-N+1}}{\theta^n + v_{j-N+1}^n} $ が得られる。
• 元の式に対しては5次ルンゲ・クッタ法を用いたシミュレーション、回路モデルに対しては離散写像を用いたシミュレーションを行い、物理回路からの実験データを収集した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御可能な時間遅れと非線形性を備えた、安定的かつ高精度な電子回路を構築して、マッキー・グラス遅れ微分方程式を模倣できるか？
• RQ2 電子回路の離散的時間発展は、元のマッキー・グラス方程式の連続的時間ダイナミクスとどの程度一致するか？
• RQ3 回路の実験的測定結果は、数値シミュレーションで観察された分岐構造とカオス的挙動をどの程度再現するか？
• RQ4 非線形ブロックと遅延ブロックの配置順序が、実験的セットアップにおけるノイズ低減と信号品質向上に果たす役割は何か？
• RQ5 導出された回路の離散的時間方程式は、物理系の挙動を予測するための信頼できるモデルとして機能するか？

主な発見

• 元の連続的時間方程式、有効回路方程式の離散的時間発展、実験データの3者による分岐ダイアグラムは、時間遅れ $ \Gamma $ を変化させた際の固定点、周期的ウィンドウ、カオス的領域への遷移において、良好な一致を示しており、同一の遷移を示している。
• $ \Gamma = 3 $ の場合、1サイクルあたり1つのピークを持つ単純な周期的振動が観察され、シミュレーションと実験の両方で確認された。
• $ \Gamma = 5 $ の場合、周期倍増分岐が発生し、1サイクルあたり2つのピークを持つ波形が得られ、シミュレーションと実験の両方で一貫して観察された。
• $ \Gamma = 7 $ および $ \Gamma = 8.5 $ の場合、系はより複雑な周期的挙動を示し、最終的にカオス的挙動に移行する。実験波形は、形状とダイナミクスの両面でシミュレートされた時間系列と一致した。
• スイッチドキャパシターフィルタの伝達関数に基づいて導出された回路の離散的時間発展方程式は、特に遅延ラインに $ N = 1194 $ サンプリングポイントを有する場合、システム挙動を正確にモデル化している。
• 実験データは、非線形関数を遅延ブロックの前に配置した戦略的配置のおかげで、著しくノイズレベルが低減しており、信号の明瞭性と測定忠実度が向上している。