[論文レビュー] Elementary divisor theory for the modular group over quadratic field extensions and quaternion algebras

Martin Raum|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、数体上の二次体拡張およびクaternion代数における最大順序上のモジュラー群およびユニモジュラー群に対して、初等因子理論を確立する。類群が自明である条件の下で、モジュラー二重コセットとユニモジュラー行列の間の一対一対応を証明し、スピン構造が次元の二重化を補償することを示し、局所的不変量およびイデアル論的制約を用いて、特定の初等因子構成の実現に対する明示的な障害を提供する。

ABSTRACT

We develop an elementary divisor theory for the unimodular and the modular group over quadratic field extensions and quaternion algebras. In particular, we investigate which sets of elementary divisors can occur. Under an additional hypothesis we establish a correspondence of unimodular and modular double cosets.

研究の動機と目的

• 最大順序を有する二次体拡張およびクォータニオン代数上のモジュラー群およびユニモジュラー群に対する包括的な初等因子理論の構築。
• 数体の条件下で、モジュラーおよびユニモジュラーの場合に現れる初等因子の集合がどのようなものかを特定すること。
• 基本体の整数環の類群が自明である場合に、モジュラー二重コセットとユニモジュラー同値類との間の対応を確立すること。
• 特に非主イデアルの場合に、所定の初等因子を持つ行列の存在に対する障害を調査すること。
• イデアル論的および付値論的手法を用いて、同値類を分類する明示的構成および局所的不変量を提供すること。

提案手法

• 有限場所 $ \mathfrak{p} $ に対して、最大順序 $ \Lambda $ の局所化 $ \Lambda_{\mathfrak{p}} $ 上で局所的初等因子 $ e_{\mathfrak{p},i}(M) \in \Lambda_{\mathfrak{p}} $ を定義する。
• 行列 $ J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix} $ および対合 $ \imath $ を用いてスピン構造を導入し、$ M^* J M = m J $ を満たす相似行列のモノイド $ \Delta_n(\Omega_{\mathbb{A}}, m) $ を定義する。
• $ \mathrm{Sp}_n(\Lambda_{\mathbb{A}}) $ を、$ m \in H = \mathrm{Fix}_\imath(\Lambda_{\mathbb{A}}^\times) $ を走る $ \Delta_n(\Lambda_{\mathbb{A}}, m) $ の和集合として特徴付ける。
• 局所化におけるスミス標準形および初等行・列操作を用いて、初等因子を保存するブロック対角形への行列の簡約を行う。
• 正規化された指数付値 $ \nu_{\mathfrak{p}} $ およびノルム $ N(a) = a\imath(a) $ を用いて、初等因子のグローバル制約を分析する。
• 類群 $ \mathrm{Cl}(\mathfrak{o}_{\mathbb{K}}) $ の自明性を活用し、すべての有限場所 $ \mathfrak{p} $ に対して $ \nu_{\mathfrak{p}}(N(e_n(M))) \leq \nu_{\mathfrak{p}}(m) $ を満たすユニモジュラー行列 $ M \in \mathrm{Inv}_n(\Lambda) $ とモジュラー二重コセット空間 $ \Delta_n(\Lambda, m)/\sim_m $ の間の全単射を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大順序を有する二次体拡張またはクォータニオン代数上のモジュラー群 $ \mathrm{Sp}_n(\Lambda) $ において、どのような初等因子の集合が現れるか。
• RQ2 特に関係するイデアルが非主イデアルである場合に、所定の初等因子を持つ行列がモジュラー群に存在する条件は何か。
• RQ3 グローバルな類群条件の下で、ユニモジュラーとモジュラーの二重コセット類の間に標準的な対応が存在するか。
• RQ4 二重コセットを局所的成分（例えば 2 進および 3 進部）に分解することは可能か、それとも非主イデアルによって障害が生じるか。
• RQ5 条件 $ \nu_{\mathfrak{p}}(N(e_n(M))) \leq \nu_{\mathfrak{p}}(m) $ が、初等因子構成の実現可能性を決定する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 類群 $ \mathrm{Cl}(\mathfrak{o}_{\mathbb{K}}) $ が自明であるという仮定の下で、モジュラー二重コセット空間 $ \Delta_n(\Lambda, m)/\sim_m $ と、すべての有限場所 $ \mathfrak{p} $ に対して $ \nu_{\mathfrak{p}}(N(e_n(M))) \leq \nu_{\mathfrak{p}}(m) $ を満たすユニモジュラー行列 $ M \in \mathrm{Inv}_n(\Lambda) $ の同値類との間の一対一対応が確立される。
• スピン構造による自由度の損失は、次元が $ n $ から $ 2n $ に二重化されることで補われており、これは $ n $ 次元のユニモジュラーモジュールとの対応を通じて反映される。
• 特定の初等因子構成の実現に対する障害が存在する：例えば、17 および $ \infty $ で分岐するクォータニオン代数において、非主イデアル $ \mathfrak{m}_2 $ を持つ 2 上の最大左イデアルに対して、初等因子 $ \mathfrak{m}_2 $ と $ 2 $ を持つ行列は存在しない。
• クォータニオン的状況では、行列 $ \mathrm{diag}(M, 12(M^*)^{-1}) $ で $ M = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -h_2 & 2h_2 \end{pmatrix} $ である場合、初等因子は $ (\mathfrak{m}_2, 2) $ および $ (1, \mathfrak{m}_3) $ を持つが、非主イデアルのためその二重コセットは 2 進および 3 進成分に分解されない。
• 局所的初等因子は $ e_{\mathfrak{p},i}(M) \in \Lambda_{\mathfrak{p}} $ を通じて計算され、グローバルな初等因子 $ e_n(M) $ はすべての $ \mathfrak{p} $ における積として得られる。類群仮定の下では、条件 $ \nu_{\mathfrak{p}}(N(e_n(M))) \leq \nu_{\mathfrak{p}}(m) $ が、実現可能性の必要十分条件である。
• 体 $ \mathbb{K} = \mathbb{Q}(\sqrt{-6}) $ 上の $ \mathrm{M}_2(\Lambda) $ に属する行列 $ T $ に対して、局所的初等因子は $ (1, \mathfrak{m}_{4\rho-1}) $、$ (\mathfrak{m}_3, 3\mathfrak{m}_3) $、および $ (2\mathfrak{m}_\rho, 2\rho) $ であり、これは $ mT^{-1} \in \mathrm{M}_2(\Lambda) $ を満たす最小の $ m $ を用いて計算される。