[論文レビュー] Elementary Proof of a Theorem of Jean Ville

Élliott H. Lieb, Daniel N. Osherson+1 more|ArXiv.org|Jul 11, 2006

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ジャン・ヴィルの定理の初等的で組合せ的動機付けの証明を提示する。任意の可算な選択関数の集合に対して、1の極限頻度が1/2であるが、常に1の割合が半分未満にとどまるため、公平性条件に違反するバイナリーシーケンスが存在することを示している。この構成により、無限回にわたって注意を向ける選択関数すべてに対して、依然として極限頻度が1/2となることが保証され、ヴァン・ミーゼスの頻度的ランダムネス定義が反証される。

ABSTRACT

Considerable thought has been devoted to an adequate definition of the class of infinite, random binary sequences (the sort of sequence that almost certainly arises from flipping a fair coin indefinitely). The first mathematical exploration of this problem was due to R. Von Mises, and based on his concept of a "selection function." A decisive objection to Von Mises' idea was formulated in a theorem offered by Jean Ville in 1939. It shows that some sequences admitted by Von Mises as "random" in fact manifest a certain kind of systematicity. Ville's proof is challenging, and an alternative approach has appeared only in condensed form. We attempt to provide an expanded version of the latter, alternative argument.

研究の動機と目的

• ジャン・ヴィルの定理の自己完結的で初等的な証明を提供すること。これはリチャード・フォン・ミーゼスの頻度的ランダムネス定義を根底から覆すものである。
• 可算な選択関数の集合が、真のランダムネスを完全に特徴づけられることはないことを示すこと。なぜなら、常にすべての選択ベースの頻度条件を満たすが非ランダムなシーケンスが存在するからである。
• すべての選択関数に対して極限頻度（1/2）を満たすが、すべての有限段階で0に偏り続けるバイナリーシーケンスを構成すること。
• ヴィルの元々の結果を強化し、選択された部分列の頻度の変動が有界であり、多項式より遅い速度で増大することを示すことにより、選択に基づくランダムネスにおけるより深い構造的制限を明らかにすること。

提案手法

• 証明は、選択関数によってインデックス付けされた自然数の有限部分集合に基づく再帰的技法を用いて、バイナリーシーケンス $ q $ を段階的に構成する。
• 選択関数から導かれる有限集合の列 $ A^*(n) $ を定義し、任意の有限段階で1の数が長さの半分を超えないように保証する。
• 区間 $ I(n) $ において、$ r > 2 $（例：$ r = 3 $）を基数として用い、1と0の累積和を制御する。
• 各選択関数 $ f_\nu $ に対して、その無限部分列における1の数は、任意の $ \nu > 0 $ に対して $ C_\nu \times n^{\nu} $ で有界であり、$ C_\nu $ は $ \nu $ に依存する。これにより、極限で1/2に収束することが保証される。
• ロヴェランド（1966）およびウスポンスキーら（1990）の組合せ的テクニックを応用し、より明確で構成的な証明を可能にした。
• 最終的なシーケンス $ q $ は、$ q(n) $ が履歴 $ A[1], \dots, A[n] $ のみに依存するように定義され、構成が段階的に明確で計算可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全体の1の頻度が1/2に収束するバイナリーシーケンスを構成可能か？ さらに、可算な選択関数の集合によって選ばれるすべての無限部分列に対しても、1の頻度が1/2に収束するが、任意の有限段階で1の累積和が長さの半分を超えないようにできるか？
• RQ2 このようなシーケンスにおいて、選択された部分列の頻度の変動を有界化できるか？ その変動はどの程度の速度で増大するか？
• RQ3 このようなシーケンスの存在が、ヴァン・ミーゼスのランダムネス定義を反証するものか？ もしそうなら、どのような条件下で反証されるか？
• RQ4 この構成を変更することで、対数的またはそれ以下の速度で増大するような、よりきめの細かい変動の境界を達成できるか？
• RQ5 変動境界の増大速度と、構成における区間基数 $ r > 2 $ の選択との間には、どのような関係があるか？

主な発見

• 構成されたシーケンス $ q $ は、$ \lim_{n\to\infty} S(q[n])/n = 1/2 $ を満たし、1の頻度が全体としてバランスされていることを保証する。
• すべての選択関数 $ f_\ell \in \mathcal{E} $ で、無限に多くの位置を選択する場合、$ \lim_{n\to\infty} S_f(q\|n)/n = 1/2 $ が成り立ち、すべての選択関数に対して頻度条件を満たす。
• すべての有限段階 $ n $ において、累積和 $ S(q[n]) \leq n/2 $ が成り立つ。これは1の数が0の数を超えないことを意味し、公平なコインの系列が期待する対称性に反する。
• 変動 $ \delta_\ell(n) = S_f(q\|n) - n/2 $ は、$ \ell $ に依存する定数によって上界で有界であり、部分列が公平性から著しく逸脱しないことを示している。
• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ \delta_\ell(n) \geq -C_\ell(\varepsilon) \cdot n^\varepsilon $ が成り立つ。これは負の方向への変動が多項式より遅く増大することを示しており、部分的多項式的成長である。
• 基数 $ r > 2 $ を調整することで、変動境界を $ n $ の任意の正のべきよりも遅く増大させることができ、さらなる精錬の可能性を示唆している。