[論文レビュー] Elementary quotient completion

Maria Emilia Maietti, Giuseppe Rosolini|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Logic, programming, and type systems参考文献 13被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、弱いlex圏に有効な商と拡張的等価性を自由に追加するための、基本的商完成の構成を導入する。この構成は、有効な商を追加するための自由構成と、写像の拡張的性質を強制するための自由構成の2つの連鎖的自由構成から成る。主な貢献は、正確完成を一般化し、内挿的型理論における構成的数学の形式化を可能にする圏論的枠組みを提供することである。

ABSTRACT

We extend the notion of exact completion on a weakly lex category to elementary doctrines. We show how any such doctrine admits an elementary quotient completion, which freely adds effective quotients and extensional equality. We note that the elementary quotient completion can be obtained as the composite of two free constructions: one adds effective quotients, and the other forces extensionality of maps. We also prove that each construction preserves comprehensions.

研究の動機と目的

• 基本的ドクトリン（カルテジアン圏上のファイバードinf-半ラティスと等価性を備えたもの）に正確完成の概念を拡張すること。
• カルキュラス・オブ・コンストラクションやマーチン・ローフ型理論などの内挿的型理論における標準的正確完成の限界に対処すること。
• 内挿的型理論と拡張的数学を商完成を用いて組み合わせるための形式的圏論的枠組みを提供すること。
• 基本的商完成が、有効な商を追加する構成と、写像の拡張的性質を強制する構成の2つの自由構成に分解できることを示すこと。
• 両方の構成がコンprehensionを保存することを証明し、完成過程を通じて論理的構造が維持されることを保証すること。

提案手法

• カルテジアン圏からinf-半ラティスの圏への関手 $ P: \mathcal{C}^{\text{op}} \to \textsf{InfSL} $ として基本的ドクトリンを定義する。これは、対角写像と積写像に対して随伴性条件を満たす対角述語 $ \delta_A $ を備える。
• 基本的商完成 $ \mathcal{D}_P $ を、$ A $ が $ \mathcal{C} $ の対象で、$ \alpha \in P(A) $ かつ $ c: A \to A \times A $ が $ P_{c \times c}(\delta_A) \geq \alpha \wedge \alpha $ を満たす三つ組 $ (A, \alpha, c) $ のなす圏として構成する。これは関係を表す。
• $ \mathcal{D}_P $ の射を、関係 $ \delta_A $ によって誘導される同値関係に関する写像の同値類として定義し、有効な商構造を保証する。
• 写像の拡張的性質を強制するために、写像の核を商することで第二の構成を導入し、すべての要素で一致する写像が同一視されることを保証する。
• 有効な商構成と拡張的性質強制構成の合成が、基本的商完成をもたらすことを示す。
• 得られるドクトリン $ ({P})_{\text{r}} $ が基本的であり、標準的関手 $ K: \mathcal{C} \to \mathcal{D}_P $ が積とコンprehensionを保存することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 論理的構造を保ちつつ、基本的ドクトリンに有効な商を自由に追加する方法は何か？
• RQ2 内挿的型理論から導かれるドクトリンにおいて、写像の拡張的性質を強制する圏論的メカニズムは何か？
• RQ3 基本的商完成は、有効な商を追加する構成と、拡張的性質を強制する構成の2つに分解可能か？
• RQ4 基本的商完成は、弱いlex圏の標準的正確完成とどのように関係するか？
• RQ5 基本的商完成が正確でない場合の条件は何か？そして、構成的数学の形式化に与える影響は何か？

主な発見

• 基本的ドクトリンの基本的商完成は、有効な商を追加する構成と、写像の拡張的性質を強制する構成の2つの自由構成の合成として構成される。
• この構成はコンprehensionを保存するため、サブオブジェクト分類子や論理的量化子といった論理的構造が完成された圏においても維持される。
• 弱いlex圏の正確完成は、基本的商完成の特殊な例であり、新しい枠組みが既知の構成を一般化していることを示している。
• 弱いlex圏の正則完成は、基本的商完成の例ではないため、両者の構成に重要な違いがあることが明確になる。
• 自然数上の部分等価関係の圏のような例では、基本的商完成が正確でないことが示され、非正確だが商について閉じた構造を捉えることが可能であることが示された。
• 部分再帰関数のドクトリンの基本的商完成は、$ \mathcal{PER} $ の圏をもたらし、これは正確でないが、その正確完成は効果的トポスにおける離散的対象の圏を回復する。