[論文レビュー] Elementary Transversality in the Schubert calculus in any Characteristic

Frank Sottile|ArXiv.org|Oct 31, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般の codimension-1 Schubert 多様体が Grassmann 多様体、フラッグ多様体、正規化された Grassmann 多様体、および有理曲線の空間において、特徴がない証明を提供する。これにより、すべての特徴（正規化された Grassmann 多様体では特徴 2 を除く）で、対応する交差数が数え上げ的であることが保証される。Laksov や Speiser の一般定理がこれらのケースに失敗するため、それらに依存せずに、接空間解析と [21] の形式的枠組みに基づく初等的手法により、一般定理に依存せずに交差の横断性を確立する。

ABSTRACT

We give a characteristic-free proof that general codimension-1 Schubert varieties meet transversally in a Grassmannian and in some related varieties. Thus the corresponding intersection numbers computed in the Chow (and quantum Chow) rings of these varieties are enumerative in all characteristics. We show that known transversality results do not apply to these enumerative problems, emphasizing the need for additional theoretical work on transversality. The method of proof also strengthens some results in real enumerative geometry.

研究の動機と目的

• 任意の代数閉体、特に正の特徴を持つ体において、Grassmann 多様体および関連空間における一般の codimension-1 Schubert 多様体の横断性を確立すること。
• このような交差から生じる交差数が、重複度が 1 の解を数える、すなわちすべての特徴で数え上げ的であることを示すこと。
• 既存の横断性理論、特に Laksov と Speiser の理論が、これらの古典的数え上げ問題に適用できないことを示すこと。
• 開発された枠組みを用いて、実代数的数え上げ幾何学における結果を強化すること。
• 古典的 Schubert 計算が、正規化された群では特徴 2 を除き、すべての特徴で数え上げ的であるという、より広範な予想を提示すること。

提案手法

• Schubert 多様体の交点における接空間解析に基づく、特徴に依存しない初等的手法を用いる。
• [21] の形式的枠組みを適用し、接空間間の線形写像とそのランクに基づいて横断性を分析する。
• 写像 αL,x が最大ランクを持たない点の集合 ΔL を定義し、その余次元を計算する。
• 一般の Schubert 多様体に対して、この集合 ΔL が空集合であるか、または期待される値 ρL と等しい余次元を持つことから、横断性が示される。
• ファイバー積として Grassmann 多様体上にファミリー X を構成し、そのファイバーが滑らかな Schubert 多様体の交わりに対応する。
• ファミリー X が Laksov と Speiser の意味での行列式的でないことを示し、彼らの一般理論がこのケースに適用できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特徴を含む任意の特徴において、一般の codimension-1 Schubert 多様体の横断性を確立できるか？
• RQ2 Laksov や Speiser の標準的横断性定理が、これらの古典的 Schubert 計算問題に適用できないのはなぜか？
• RQ3 古典的 Schubert 計算における交差数は、特に正の特徴においてもすべての特徴で数え上げ的か？
• RQ4 [21] の形式的枠組みは、実解の構成に加え、数え上げ問題における横断性の証明にも用いることができるか？
• RQ5 既存の一般理論を超えて、数え上げ幾何学における横断性を捉える、より広範な原理または新しい基準は存在するか？

主な発見

• Grassmann 多様体における一般の codimension-1 Schubert 多様体は、任意の特徴で横断的に交わる。これにより、対応する交差数がすべての特徴で数え上げ的であることが保証される。
• 7 次元空間内の 12 個の一般の 4 次元部分空間の交差数は正確に 462 であり、これはすべての特徴で成り立つ。
• 5 次元空間内に 5q + 6 個の一般の点と 3 次元部分空間があるとき、各ペアと交わる次数 q の有理曲線の数は正確に (5 + 5q)-番目のフィボナッチ数であり、これはすべての特徴で数え上げ的である。
• 単純な Schubert 多様体のファミリーは、Laksov と Speiser の行列式的条件を満たさない。これにより、彼らの理論がこれらのケースに適用できないことが示される。
• 滑らかな点における Schubert 多様体の接空間は、Grassmann 多様体の接空間の線形部分空間であり、そのような接空間の集合は安定化群の作用で一つの軌道をなす。
• 失敗集合 ΔL の余次元は正確に n−2 であるが、l > 0 かつ r, n−r > 1 のとき、期待される余次元 ρL よりも大きい。これにより、次元数え上げにより横断性が証明される。