[論文レビュー] Elements of Finite Order in the Group of Formal Power Series Under Composition

Marshall M. Cohen|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特性0の体上の有限合成位数をもつ任意の形式的べき級数が、$\omega z$（$\omega$ は単位根）に共役であることを確立する。任意の原始$ n $乗単位根 $\omega$ および $ n $ の倍数でない添え字における任意の係数に対して、その系列が位数 $ n $ をもつようにするための $ nj+1 $ における係数の唯一の選択肢が存在することを証明し、形式的べき級数の合成群における有限位数元の完全な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We consider formal power series $f(z) = ωz + a_2z^2 + \ldots \ (ω eq 0)$, with coefficients in a field of characteristic $0$. These form a group under the operation of composition (= substitution). We prove (Theorem 1) that every element $f(z)$ of finite order is conjugate to its linear term $\ell_ω(z) = ωz$, and we characterize those elements which conjugate $f(z)$ to $ωz$. Then we investigate the construction of elements of order $n$ and prove (Theorem 2) that, given a primitive $n$'th root of unity $ω$ and an arbitrary sequence $\{a_k\}_{k eq nj+1}$ there is a unique sequence $\{a_{nj + 1}\}_{j=1}^\infty$ such that the series $f(z) = ωz + a_2z^2 + a_3z^3 + \ldots$ has order $n$. Sections 1 - 5 give an exposition of this classical subject, written for the 2005 - 2006 Morgan State University Combinatorics Seminar. We do not claim priority for these results in this classical field, though perhaps the proof of Theorem 2 is new. We have now (2018) added Section 6 which gives references to valuable articles in the literature and historical comments which, however incomplete, we hope will give proper credit to those who have preceded this note and be helpful and of interest to the reader.

研究の動機と目的

• 形式的べき級数の合成群における有限合成位数をもつ元を分類すること。
• 有限位数をもつ形式的べき級数がその線形部 $\omega z$ に共役であるための条件を特定すること。
• 非 $ n $ の倍数の添え字における係数を指定し、$ nj+1 $ における係数を解くことによって、与えられた有限位数 $ n $ をもつすべての形式的べき級数を構成すること。
• 形式的べき級数群における有限位数元の共役類の代数的構造を明確にすること。

提案手法

• 定数項が0で一次係数が非ゼロである形式的べき級数の群 $G[[z]]$ を定義し、合成に関して閉じていることを確認する。
• 有限位数系列を線形化するための共役子 $f^* = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \omega^{n-j} f^{(j)}$ を導入する。
• 任意の有限位数系列 $ f $ がその線形部 $\ell_\omega(z) = \omega z$ に $ f^* $ で共役されることを証明する。
• 帰納法と係数の逐次一致を用いて、$ k \neq nj+1 $ における係数が事前に与えられたとき、位数 $ n $ を達成するための $ nj+1 $ における係数が一意に存在することを示す。
• 有限位数元が有界部分群を生成することを活用し、群の軌道上で平均化することによって形式的共役性を確立する。
• 古典的複素力学系および形式的群論の結果（特にシュレーディンガーの関係式やボッハナー＝マルチンの形式的共役性に関する研究）と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、有限合成位数をもつ形式的べき級数がその線形部 $\omega z$ に共役になるか？
• RQ2 原始$ n $乗単位根 $\omega$ が与えられたとき、どの係数列がちょうど位数 $ n $ をもつ形式的べき級数を生成するか？
• RQ3 添え字が $ n $ で割って1余る項にあたる係数の任意の列は、$ nj+1 $ における係数を選択することで有限位数系列に拡張可能か？
• RQ4 有限位数形式的べき級数の共役類の構造は何か？ そして、代数的にどのようにパrameter化できるか？
• RQ5 形式的共役性の結果は複素力学系における解析的共役性とどのように関係するか？ 収束が失敗する場合の制限は何か？

主な発見

• 任意の有限位数 $ n $ をもつ形式的べき級数 $ f(z) = \omega z + \sum_{k=2}^\infty a_k z^k $ は、$ f $ の反復を平均化する共役子 $ f^* $ を用いて $\ell_\omega(z) = \omega z$ に共役である。
• 共役子 $ f^* $ は明示的に $ f^* = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \omega^{n-j} f^{(j)} $ と与えられ、$ G[[z]] $ に属する。
• 任意の原始$ n $乗単位根 $\omega$ および $ k \neq nj+1 $ における係数 $ a_k $ の任意の選択に対して、$ f(z) = \omega z + \sum_{k=2}^\infty a_k z^k $ が位数 $ n $ をもつようにするための $ a_{nj+1} $ の一意な選択が存在する。
• この構成により、$ n \geq 2 $ であっても、$ n $ の倍数でない添え字における係数の自由度のおかげで、$\mathbb{C}$ 上に非収束の形式的べき級数が非可算に存在することが示される。
• この結果により、有限位数元はその乗数 $\omega$ および $ nj+1 $ における係数によって完全に決定され、他のすべての係数は自由パラメータであることが確認される。
• 本稿は、収束性や位相的性質に依存しない代数的・非解析的証明を提供することで、形式的群論における古典的問題を解決する。